复旦数学物理方法课件02复变函数的积分

2复变函数的积分2.1积分的定义和性质复变函数积分的定义类似于实变函数，可定义复变函数的积分。定义：设函数f(z)在光滑或分段光滑的曲线L上有定义，则f(z)沿L路线积分定义如下：把曲线L分成n段，在每段zk-zk-1=Δzk间任取一点ξk，若求和式Sn=nk=1f(ξk)Δzk的极限limmax{Δzk}Sn=Lf(z)z(1.1)存在，则称极限值为f(z)在L上的积分，记为：∫Lf(z)z。注意极限存在须与1.弧段的分法2.ξk在zk-1到zk间的取法无关51015x0246810yz0z1z2zk-1ξ1ξ2ξkzkznLLf(z)z=limmaxΔxk0maxΔyk0k=1n(uk+vk)(Δxk+Δyk)=limmaxΔxk0maxΔyk0k=1n[ukΔxk-vkΔyk+(ukΔyk+vkΔxk)]Lf(z)z=L(ux-vy)+L(uy+vx)第二类曲线积分◼若曲线L由参数方程确定，则可化为参数方程的积分曲线L：x=x(t)y=y(t),Lf(z)z=Lf[z(t)]z(t)=t1t2f[z(t)]z′(t)t⟹实部与虚部两个一元函数的积分复变函数积分的性质◼若曲线L=L1+L2+...+Ln，则Lf(z)z=k=1nLkf(z)z◼若曲线L与L-反向，则Lf(z)z=-L-f(z)z◼线性：L[a1f1(z)±a2f2(z)]z=a1Lf1(z)z±a2Lf2(z)z，其中a1,a2为常复数◼不等式（在证明积分为0时常用）Lf(z)z≤Lf(z)z证明：k=1nf(ξk)Δzk≤k=1nf(ξk)Δzk,两边取极限即得◼上限：若M为f(z)在曲线L上的上界，则Lf(z)z≤Ml,l为曲线L的长度1+1xyL1L21+2+2+4xyL1L2L3☺例题：I=LRezz，L为：L1从原点到1+的直线；L2从原点到1，再到1+2沿L1：z=rπ/4,I=02rcosπ4rπ/4=02rπ/4cosπ4r=12(1+)，其中利用了复变函数的求导法则与实变函数同：z(t)=z′(t)t,rπ/4=π/4r沿L2：I=01xx+011y=12+对本题的积分，积分路径不同时，积分值不同。☺例题：I=Lz2z，L为：L1从1+到2+4的直线；L2沿直线1+到2+，再到2+4；L3从1+沿过0,1+,2+4的抛物线到2+4沿L1：直线方程：y=3x-2,⟹I=(x+y)2(x+y)，以y=3x-2代入=12[x+(3x-2)]2[x+(3x-2)]=12[(1+3)x-2]2(1+3)x=-863-61+2+2+4xyL1L2L3沿L2：第一段y=1，y=0，I1=12(x+)2x=43+3，第二段：x=2，x=0，I2=14(2+y)2(y)=-30-9I=I1+I2=-863-6沿L3：抛物线方程：y=x2代入I=x=1x=2(x+y)2(x+y)=x=1x=2x+x22x+x2，利用x+x2=(1+2x)xI=x=1x=2x+x22(1+2x)x=x=1x=2x2+4x3-5x4-2x5x=-863-6对本题的积分，积分路径不同时，积分值相同。◼在什么情况积分值才与积分路径无关？Lf(z)z=L(ux-vy)+L(uy+vx)⟹两个实变二元函数的第二类曲线积分实二元函数第二类曲线积分L(Px+Qy)积分值与积分路径无关的条件：Py=Qx应用到复积分若u,v满足C-R条件，则积分就可能与路径无关。是否解析函数的积分与路径无关？充分？必要？其实还有其它条件：单连通有界区域、一阶偏导数连续。这就是下一节的Cauchy定理。3xyR∞-RRθ1θ2CRxyππ/201y=sinxy=2πx☺例题：若z在上半平面及沿实轴趋于∞时，zf(z)一致趋于0（与z趋于∞的辐角无关，只要其辐角θ=argz满足0≤θ≤π），即如果：limz∞zf(z)=0,0≤θ=argz≤π,则：沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧：limR∞CRf(z)z=0证明：这是第一次遇到求证积分为0的问题，今后方法多与此相似。要证明积分值为0，只需证明积分值的模为0。常利用Lf(z)z≤Lf(z)z，下证之。CRf(z)z≤CRf(z)z=I，需证明：limR∞I=0z=Rθ⟹z=Rθθ⟹z=Rθ⟹z=zθI=CRf(z)zθ=CRzf(z)θεCRθ=εθ2-θ1其中因为：limz∞zf(z)=0，故∀ε0，可找到R′，使得当zR′时，zf(z)ε，现取RR′，则有：CRzf(z)θεCRθ也就是说，无论给定多么小的ε0，均可找到一个R′′,当RR′′时，0Iε或更简单地，写成I=CRzf(z)zz≤maxzf(z)θ1θ2θ=maxzf(z)θ2-θ1,R∞时，zf(z)0，故maxzf(z)可小于任意小量。☺例题：Jordan引理：若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一致趋于0，即limz∞f(z)=0,0≤θ=argz≤π,则沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧：limR∞CRf(z)mzz=0，其中m0证明：方法类似于上一题。在大圆弧CR上，z=Rθ⟹z=Rθθ⟹z=Rθ⟹z=zθ4CRf(z)mzz≤CRf(z)mzz=I因为z为复数，mz≠1，而是mz=m(Rcosθ+Rsinθ)=-mRsinθI=CRf(z)-mRsinθRθ=εRθminθmax-mRsinθθ注意此时ε0,但R∞,不能确定εR0,故需要算出对θ的积分。xyππ/201y=sinxy=2πx对辐角大于π2的那一段圆弧，可通过变换ϕ=π-θ化为一段辐角在0到π2之间的积分，例如：π/2π-mRsinθθϕ=π-θ0π/2-mRsinϕϕ对任一段辐角在0到π2之间的积分，利用0≤θ≤π/2时有sinθ2πθ,故：θminθmax-mRsinθθ≤θminθmax-mR2πθθ=π-mRθmin--mRθmax2mR代入I可得：I=πεR-mRθmin--mRθmax2mR=πε2m-mRθmin--mRθmax0若m0，limR∞CRf(z)mzz=0则要求当z在下半平面趋于∞时，f(z)一致趋于0。上一章提到的积分（见下）就是利用π2θ≤π的任一段大圆弧上CR上的积分为0。当然还要利用一个闭合回路的积分为0把积分化为沿z+1=rθ0（固定θ0=23π，r从0到无穷）进行。至于什么条件下沿闭合路径积分为0，下一节就将讨论。-∞-1x-x2-117-12x2-1cos(17x)dx2.2Cauchy定理复变函数的积分实际上为两个二元实变函数的第二类（对坐标的）曲线积分。在什么条件下，积分值与路径无关？从二元实变函数的格林公式Px+Qy=∂Q∂x-∂P∂yxy=(Qx-Py)xy可知，如果Py=Qx，实变函数的第二类曲线积分则积分就与路径无关，从而复变函数积分f(z)z=(ux-vy)+(uy+vx)与积分路径无关的条件是：uy=-vx且ux=vy⟸C-R条件+格林公式的条件。单连通区域的Cauchy定理定理：设f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一光滑或分段光滑闭合回路的积分为0。5f(z)z=0证明：I=f(z)z=(ux-vy)+(uy+vx),应用格林公式：Px+Qy=∂Q∂x-∂P∂yxyI=∂(-v)∂x-∂u∂yxy+∂u∂x-∂v∂yxy=0，最后一步应用了C-R条件◼格林公式成立的条件：除单连通之外，还要求Py,Qx连续。对应于复变函数积分，就要求ux,uy,vx,vy四个偏导数连续，但我们仅已知复变函数函数解析，解析的充要条件是：f(z)连续和C-R条件。解析并不保证四个偏导数连续（即使u,v可微，也不保证四个偏导数连续，后者只是前者的充分条件。）因此，利用格林公式证明Cauchy定理是不严格的。更严格的证明可参见：Ahlfors,ComplexAnalysis,阿尔福斯《复分析》赵志勇等译Chap.4。(*把工作目录设置成文件所在的目录*)SetDirectory[NotebookDirectory[]];Import[fig02.01complexanalysis.jpg,ImageSize100]L.V.Ahlfors：哈佛数学教授。1936年获菲尔茨奖。1953年美国科学院院士。1981年获沃尔夫奖。书中许多“clearly,obviously,evidently,itiseasytosee,itisnotdifficulttosee,itisplainthat,itisreadilyseenthat”等等。“Theyarenotusedtoblurthepicture.Onthecontrary,theytestthereader'sunderstanding,forifhedoesnotagreethattheomittedreasoningisclear,obvious,andevident,hehadbetterturnbackafewpagesandmakeafreshstart?”◼历史上，该定理最早是在f′(z)连续（也即四偏导数连续）条件下，应用格林公式证明，而后Goursat在不用此条件的情况下加以证明，因此，此定理也被称为Cauchy-Goursat定理。◼前曾经介绍过一个定理，若一个复变函数在某区域解析，则f′(z),f′′(z),...也都解析。但这实际上是Cauchy定理的推论，不可用于证明Cauchy定理。◼闭合回路积分为0的条件还可放宽为：D内解析，D=D+C内连续（即边界只需连续），仍有lf(z)z=0，其中回路可以是边界C。◼推论：单连通区域D内的解析函数的积分只与起点和终点有关，与路径无关。原函数和定积分公式定理：若f(z)在单连通区域D内单值解析，积分与路径无关，6那么z0zf(z)z与路径无关，对于一个z值，就有确定的一个值F(z)与之对应，那么F(z)=z0zf(z)z是一个单值解析函数，F′(z)=f(z)并且z1z2f(z)z=F(z2)-F(z1)z0l1zz+Δzl2l3证明：先证明解析，对z∈D,ΔF=F(z+Δz)-F(z)=z0z+Δzf(ξ)ξ-z0zf(ξ)ξ=l1+l3f(ξ)ξ-l1f(ξ)ξ=l3f(ξ)ξ因为f(z)可导，必连续，∀ε0，∃δ(ε)，使得当ξ-zδ时，f(z)-f(ξ)ε，求导时Δz0，故可取Δzδ，那么在l3上，f(z)-f(ξ)ε，F(z+Δz)-F(z)Δz-f(z)=1Δzl3f(ξ)ξ-f(z)（无论Δz以何种方式0，积分均可沿直线进行，因为与路径无关）=1Δzl3[f(ξ)-f(z)]ξ≤1Δzl3f(ξ)-f(z)ξ≤1Δzεl3ξ=εΔzΔz=ε由于ε可以任意小⟹F′(z)=limΔz0F(z+Δz)-F(z)Δz=f(z)F′(z)=f(z)，故F(z)称为f(z)的原函数。类似于实变