2010年广东高考（理科）数学试题及答案

第1页共5页绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A∩B=xA.{x-1＜x＜1}B.{x-2＜x＜1}C.{x-2＜x＜2}D.{x0＜x＜1}2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=A．4B.2+iC.2+2iD.33．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数A．f（x）与g（x）均为奇函数B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数4.4.已知{}na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5S=A．35B.33C.31D.295.“14m”是“一元二次方程20xxm”有实数解“的A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件6.如图1，△ABC为三角形，AA//BB//CC,CC⊥平面ABC且3AA=32BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是ABCDw_ww.k*s_5u.co_m7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2≤X≤4)=0.6826，则p（X4）=A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.15858.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）w_ww.k*s_5u.co_m9.函数()fx=lg(x-2)的定义域是.10.若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是w_ww.k*s_5u.co_m13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2分别为1,2，则输出地结果s为.w_ww.k*s_5u.co_m14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=23a，∠OAP=30°，则CP＝______.w_ww.k*s_5u.co_m15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ2π）中，曲线ρ=2sin与cos1p的交点的极坐标为______。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。第2页共5页16、（本小题满分14分）已知函数()sin(3)(0,(,),0fxAxAx在12x时取得最大值4　(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f(23α+12)=125,求sinαw_ww.k*s_5u.co_m17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495，（495,500，……（510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。18.（本小题满分14分）w_ww.k*s_5u.co_m如图5，¼ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，FE=6a图5（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=23FE,FR=23FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？w_ww.k*s_5u.co_m20．（本小题满分为14分）一直双曲线2212xy的左、右顶点分别为A1,A2，点11(,)pxy，11(,)Qxy是双曲线上不同的两个动点（1）求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若点H(O,h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且12ll,求h的值。21．（本小题满分14分）设A(11,xy),B(22,xy)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_ww.k*s_5u.co_mP(A,B)=21xx+21yy.对于平面xOy上给定的不同的两点A(11,xy),B(22,xy)(1)若点C（x,y）是平面xOy上的点，试证明P(,)AC+P(,)CBP(,)AB;(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足1.①P(,)AC+P(,)CB=P(,)AB②P(,)AC=P(,)CB若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。第3页共5页2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．D．【解析】．{|21}{|02}{|01}ABxxxxxxII2．A．【解析】12(1)(3)1311(31)42zziiii3．B．【解析】．()33(),()33()xxxxfxfxgxgx4．C．【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。naq231412aaaaa42a由与2的等差中项为知，，．4a7a54475224aa7415(2)24aa14∴，即．，，.37418aqa12q3411128aaqa116a55116(1)231112S5．A．【解析】由知，．20xxm2114()024mx14m（或由得，。），反之不成立，故选A。0140m14m14m14m6．D．7．B．【解析】11(4)[1(24)](10.6826)0.1587.22PXPX8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．．【解析】由，得，所以函数的定义域为．(2,)20x2x(2,)10．2．【解析】，，解得．(0,0,1)caxvv()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxxvvv2x11．．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，113sinsin60A即．由知，，则，1sin2Aab60AB30A180CABo90o于是．sinsin901C12．．【解析】设圆心为，则，解得．22(2)2xy(,0)(0)aa22|20|211ar2a13．．14．．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.1498aOPAB在中，.RtOPA3cos302BPAPaa由相交弦定理知，，BPAPCPDP即，所以．332223aaCPa98CPa15．．【解法1】两条曲线的普通方程分别为．解得3(2,)4222,1xyyx1,1.xy由得点的极坐标为．cos,sinxy(1,1)3(2,)4【解法2】由得，，2sincos11sin2202024＜＜Q或，或（舍），从而，交点坐标为。三、解答题：本3223222347423(2,)4大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．DOPABC第4页共5页yx3x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC2.5x+4y=0O，，，，．3sin(2)253cos252312sin521sin55sin517．（1）重量超过505克的产品数量是件；40(0.0550.015)12（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，22824063(0)130CPYC11122824056(1)130CCPYC21224011(1)130CPYCY的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为。23122854012112827262111231213214039383736371970354321CCC18．（1）证明：连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。CF¼AECaACE»ACEBAC在中，。RTBCE22222ECBCBEaaa在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。BDF5BFDFaBDFCBDCFBD在中，，所以为，且。CEF222222(2)(2)6CECFaaaEFCEFRtCFEC因为，，且，所以平面，CFBDCFECCEBDCICFBED而平面，。EBBEDCFEB因为，，且，所以平面，EBACEBCFACCFCIEBBDF而平面，。FDBDFEBFD（2）设平面与平面RQD的交线为.BEDDG由，，知.23FQFE23FRFB//QREB而平面，∴平面，EBBDE//QRBDE而平面平面=，∴.BDEIRQDDG////QRDGEB由（1）知，平面，∴平面，BEBDFDGBDF而平面，∴，，,DRDBBDFDGDRDGDQ∴是平面与平面所成二面角的平面角．RDBBEDRQD在中，，RtBCF2222(5)2CFBFBCaaa，．22sin55FCaRBDBFa21cos1sin5RBDRBD在中，由知，，BDR23FRFB1533aBRFB由余弦定理得，222cosRDBDBRBDBRRBD2255129(2)()223335aaaaa由正弦定理得，，即，。sinsinBRRDRDBRBD529332sin5aaRDB229sin29RDB故平面与平面所成二面角的正弦值为。BEDRQD2292919．解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐