2012年北京高考文科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合320,(1)(3)0AxxBxxxRR，则AB=（）A.(,1)B.2(1,)3C.2(,3)3D.(3,)【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C【试题解析】23Axx，利用二次不等式的解法可得3Bxx或1x，画出数轴易得3ABxx.2.在复平面内，复数10i3i对应的点坐标为（）A.(1,3)B.(3,1)C.(1,3)D.(3,1)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求对应的点坐标.【参考答案】A【试题解析】10i10i(3i)13i3i(3i)(3i)，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A.3.设0202xx剟剟不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A.π4B.π22C.π6D.4π4【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.【参考答案】D【试题解析】题目中0202xx剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p，故选D4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.4C．8D.16【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8,ksksksks循环结束，输出的S为8，故选C.5.函数121()()2xfxx的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数.【参考答案】B【试题解析】函数121()()2xfxx的零点，即令()0fx，根据此题可得121()2xx，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B.6.已知na为等比数列.下面结论中正确的是（）A.1222aaa…B.2221322aaa…C.若则12aa,则132aaa…D.若31aa，则42aa【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.【参考答案】B【试题解析】当10,0aq时，可知1320,0,0,aaa，所以A选项错误；当1q时，C选项错误；当0q时，323142aaaqaqaa，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A.2865B.3065C.56125D.60125【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表面积.【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,=10=65=10SSSS后右底左，，，，因此该几何体表面积30+65S，故选B.8.某棵果树前n年得总产量nS与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（）A.5B.7C.9D.11【测量目标】线性分布的特点与理解.【考查方式】给出线性分布图，求总量最高时所对应的横坐标.【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因此选C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.直线yx被圆22(2)4xy截得的弦长为.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长.【参考答案】22【试题解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为2l，圆心到直线的距离22221(1)d，以及圆半径2r构成了一个直角三角形，因此22224228222lrdll.10.已知na为等差数列，nS为其前n项和.若1231,2aSa，则2a；nS.【测量目标】等差数列的公式与定义及前n项和.【参考答案】1(1)4nn【试题解析】因为23Sa，所以12d，所以1(1)4nSnn11.在ABC△中，若3,3ab，π3A，则C的大小为.【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算.【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长.【参考答案】π2【试题解析】222cos232bcaAcbc,而sinsincaCA，而πsin12CC12.已知函数()lgfxx，若()1fab，则22()()fafb.【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质.【考查方式】给出复合函数，代入求值.【参考答案】2【试题解析】()lg,()1fxxfab，lg()1ab，2222()()lglg2lg()2fafbabab.13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为.【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则.【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积.【参考答案】1【试题解析】根据平面向量的点乘公式cosDECBDEDADEDA，可知cosDEDA，因此21DECBDA；coscosDEDCDEDCDE，而cosDE就是向量DE在DC边上的射影，要想让DECD最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为a，所以长度为1.14.已知()(2)(3)fxmxmxm，()22xgx.若Rx，()0fx或()0gx，则m的取值范围是.【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解.【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围.【参考答案】（-4,0）【试题解析】首先看()22xgx没有参数，从()22xgx入手，显然1x时，()0gx，1x…时，()0gx…，而对xR，()0fx或()0gx成立即可，故只要1x…时，()0fx（*）恒成立即可.当0m时，()0fx，不符合（*），所以舍去；当0m时，由()(2)(3)fxmxmxm0得32mxm，并不对1x…成立，舍去；当0m时，由()(2)(3)fxmxmxm0，注意20,1,mx…故20xm，所以30xm，即(3)mx，又1x…，故(3)(,4x，所以4m，又0m，故(4,0)m，综上，m的取值范围是(4,0).三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题13分）已知函数(sincos)sin2()sinxxxfxx.（1）求()fx的定义域及最小正周期；（2）求()fx的单调递减区间.【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.【考查方式】给出函数，求函数的定义域最小及周期及单调减区间.【试题解析】解：（1）由sin0x得π,()xkkZ，故()fx的定义域为π,xxkkRZ.因为(sincos)sin2()sinxxxfxx=2cos(sincos)xxx=πsin2cos212sin(2)14xxx所以()fx的最小正周期2ππ2T.（2）函数sinyx的单调递减区间为π3π2π,2π22kk()kZ.由ππ3π2π22π,π()242kxkxkkZ剟得3π7πππ,()88kxkkZ剟所以()fx的单调递减区间为3π7πππ,()88kxkkZ剟.16.（本小题14分）如图1，在RtABC△中，90C，,DE分别是,ACAB上的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE△沿DE折起到1ADE△的位置，使1AFCD，如图2.（1）求证：DE平面1ACB;（2）求证：1AFBE;（3）线段1AB上是否存在点Q,使1AC平面DEQ？说明理由【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直.【试题解析】解：（1）因为,DE分别为,ACAB的中点，所以DEBC.（步骤1）又因为DE平面1ACB,所以DE平面1ACB.（步骤2）（2）由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以1DEAD,DECD,所以DE平面1ADC.而1AF平面1ADC,（步骤3）所以1DEAF.又因为1AFCD,所以1AF平面BCDE.所以1AFBE，（步骤4）（3）线段1AB上存在点Q,使1AC平面DEQ.理由如下：如图，分别取11,ACAB的中点,PQ,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.（步骤5）由（2）知DE平面1ADC,所以1DEAC.（步骤6）又因为P是等腰三角形1DAC底边1AC的中点，所以1ACDP,所以1AC平面DEP,从而1AC⊥平面DEQ.故线段1AB上存在点Q,使得1AC平面DEQ.（步骤7）17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,abc其中0,600aabc当数据,,abc的方差2S最大时，写出,,abc的值（结论不要求证明），并求此时2S的值.（注：方差2222121()()()nSxxxxxxn，其中x为12,,nxxx的平均数）【测量目标】概率的意义、频率与概率的区别及分布的特点与意义及方差的计算.【考查方式】给出垃圾数据表，分别求各项概率及方差【试题解析】1）厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量40024001001003（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确。事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即()PA,约为400240600.71000,所以()PA约为10.70.3.（3）当600a，0bc时，2S取得最大值.因为1()2003xabc，所以2221(600200)(0200)80003S．18.（本小题13分）已知函数2()1(0)fxaxa，3()gxxbx.（1）若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,)c处具有公共切线，求,ab的值；（2）当3,9ab时，求函数()()fxgx在区间,2k上的最大值为28，求k的取值范围.【测量目标】导数概念的实际的背景，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.【考查方式】考查导数在函数中的应用.【试题解析】(1)：()2fxax，2()3gxxb.因为曲线()yfx与()ygx在它们的交点(1,)c处具有公