高中数学函数完美归纳讲解

1第一章函数概念导入1、集合（子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系）2、映射（定义，一一映射）3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定义设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f(x).自变量x、因变量y映射角度函数定义：定义在非空数集之间的映射称为函数要点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则（这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量）1、复合函数：y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），y通过中间变量u构成了x的x→u→y，注意2定义域。y＝lgsinx2、反函数：x→y,y→x,性质：1、一一映射2、单调函数分类：一次函数y=kx+b★二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0)反比例函数y=k/x(k为常数且k≠0)指数函数y=ax(a0,a≠1)对数函数y＝logax（a＞0）幂函数y=xa★三角函数(正弦，余弦，正切，余切，正割，余割)常用方法：待定系数法平移变换法数形结合法注：注意自定义（抽象）函数等学习应用，培养逻辑思维。第一节函数的一般化应用解析1-1-1函数的值域方法：31、巧用定理，整体变换。（1）函数3cos3sin2xxy的最小值；（2）已知：sin5sin2sin322，α、βR,求22coscosu范围.2、借题发挥，分式转化双曲线。bcad,0cdcxbaxy型求值域和画图的一般化应用。（1）作函数1231xxy的图象（2）求函数4235xxy的值域1-1-2函数的奇偶性要点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。（1）若为偶函数函数为奇)()()()()()(xfyxfxfxfyxfxf（2）奇函数;0)0()(fxy在原点处有意义（3）任一个定义域关于原点对称的函数)(xf一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即偶奇2)()()(2)()()(xfxfxfxfxf例题：（1）定义在),(上的函数)(xf可以表示成奇函数g(x)与偶函数h(x)之和，若)110lg()(xxf，那么（）A、)21010lg()(,)(xxxhxxgB、])110[lg(21)(],)110[lg(21)(xxhxxgxx4C、2)110lg()(,2)(xxhxxgxD、2)110lg()(,2)(xxhxxgx1-1-3函数的单调性★常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。定义区间D上任意两个值21,xx，若21xx时有)()(21xfxf，称)(xf为D上增函数，若21xx时有)()(21xfxf，称)(xf为D上减函数。性质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法：作差法：若x1x2,f(x1)-f(x2)0单调递减若x1x2,f(x1)-f(x2)0单调递增作商法：若x1x2,f(x1)/f(x2)0单调递减若x1x2,f(x1)/f(x2)0单调递增讨论复合函数的增减问题ψ(x)为增函数，f(x)为增函数，y为增函数ψ(x)为增函数，f(x)为减函数，y为减函数))x((fyψ(x)为减函数，f(x)为增函数，y为减函数ψ(x)为减函数，f(x)为减函数，y为增函数5（1）设)(xf为奇函数，且在区间[a,b](0ab)上单调减，证明)(xf在[-b,-a]上单调减。（2）)3(log)(221aaxxxf在),2[上减函数，则a的范围：（-4，4]1-1-4函数的平移和伸缩平移规则：左加右减)()()(axfyaxfyxfyaa个单位右移个单位左移上加右减bxfyxfbybxfyxfbyxfybb)()()()()(个单位下移个单位上移伸缩规则：横向变倒数)0()()(1,xfyxfy倍横坐标变为原来的纵坐标不变纵向成倍数)0()()(,AxAfyxfyA倍纵坐标变为原来的横坐标不变1-1-5函数的对称性中心对称)2(2)(),(xafybxfyba对称关于中心轴对称若)(xfy对Rx满足)()(xbfxaf，则)(xfy关于直线62bax对称；（由2)()(xbxax求得）函数)()(xbfyxafy与关于直线2abx对称。（由xbxa解得）例题解析1、函数22,0,0xxyxx的反函数是（）A．,02,0xxyxxB．2,0,0xxyxxC．,02,0xxyxxD．2,0,0xxyxx2、函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________。3、设函数()log()(0,1)afxxbaa的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则ab等于（C）（A）3（B）4（C）5（D）64、的值域求函数xxy535、221223xxyxx求函数的值域6、2231218423yxxxx求函数的值域7、给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y)②g(x+y)=g(x)g(y)③h(xy)=h(x)+h(y)④t(xy)=t(x)t(y)，又给出四个函数图象7正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙8．若)(xfy对Rx满足)2()2(xfxf，则)(xfy的对称轴为函数)2()2(xfyxfy与的对称轴为9．f(x)为定义在)0,(),0(上的偶函数，且在),0(上为减,①求证f(x)在)0,(上为增函数；10．已知4254)(,252xxxxfx则有A．最大值45B．最小值45C．最大值1D．最小值111．设函数))((Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff则)5(fA．0B．1C．25D．512．)(xf为定义在R上的偶函数，且)3()5(xfxf对Rx恒成立，则)(xfy的一个周期为：13．设)12(xfy为偶函数，则)2(xfy的一条对称轴为第二节二次函数定义，解析式，条件，定义域，值域。8一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c则称y为x的二次函数。判定公式，求根公式，韦达定理等回顾掌握。表达式类型：1、一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）2、顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P（h，k）]对于二次函数y=ax2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)3、交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]性质关系：1、a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大2、图像为抛物线，是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a3、2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。9抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴有0个交点7、当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4，在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}。相反亦然。例题应用解析：1．如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()A、6B、4C、3D、12．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是什么？(3)第几分时，学生的接受能力最强？3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每10涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数：（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式.（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为平方米.（1）求：与之间的函数关系式，并求当米时，的值；（2）设矩形的边米，如果满足关系式即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.11第三节三角函数知识点回顾角①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。锐角：小于90°的角叫做锐角直角：等于90°的角叫做直角钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角平角：等于180°的角叫做平角周角：等于360°的角叫做周角②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。角的范围可扩大到实数R。A=a+2kπ(k∈Z)角的度量弧度与角度在数学中，弧度和角度是角的量度单位。定义：弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1弧度。12弧长公式：)n(180rn)(L为角度π弧长弧度和角度变化公式（r=1）。1-3-1三角函数的初等基本表示正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。）1-3-2三角函数的数值符号及特殊值函数名称第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++--余弦+--+正切+-+-13特殊角的三角函数值例题1.sin(-619π)的值是()A.21B.-21C.23D.-232.若sinθcosθ＞0,则θ在()A.第一,二象限B.第一,三象限余切+-+-正割+-1+余割++--函数名称030456090正弦02122231余弦12322210正切