【新高考复习】2 第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·辽宁五校联考)sin1470°＝()A.32B.12C．－12D．－32解析：选B.sin1470°＝sin(1440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin30°＝12，故选B.2．若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1解析：选B.因为α是第三象限角，故sinα0，cosα0，所以原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝－1－2＝－3.3．(2019·贵阳模拟)已知f(x)＝tanx＋1tanx，则fπ12的值为()A．23B.433C．2D．4解析：选D.因为f(x)＝tanx＋1tanx＝sinxcosx＋cosxsinx＝1sinxcosx＝2sin2x，所以fπ12＝2sinπ6＝4，故选D.4．若sin（π－θ）＋cos（θ－2π）sinθ＋cos（π＋θ）＝12，则tanθ＝()A．1B．－1C．3D．－3解析：选D.因为sin（π－θ）＋cos（θ－2π）sinθ＋cos（π＋θ）＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝12，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.5．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－13，则tan(π2－α)的值为()A．22B．－22C.24D．±22解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sinα＝13，则cosα＝±223，所以tan(π2－α)＝sin（π2－α）cos（π2－α）＝cosαsinα＝±22.故选D.6．(2019·山西晋城一模)若|sinθ|＋|cosθ|＝233，则sin4θ＋cos4θ＝()A.56B.1718C.89D.23解析：选B.|sinθ|＋|cosθ|＝233，两边平方得，1＋|sin2θ|＝43，所以|sin2θ|＝13，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1－12×132＝1718，故选B.7．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈0，π2，且12sinθ＋12cosθ＝35，则tanθ＝()A.34B.43C．±34D.34或43解析：选D.依题意得12(sinθ＋cosθ)＝35sinθcosθ，令sinθ＋cosθ＝t，因为θ∈0，π2，所以t0，则原式化为12t＝35·t2－12，解得t＝75t＝－57舍去，故sinθ＋cosθ＝75，则sinθcosθ＝1225，即sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝1225，即tanθ1＋tan2θ＝1225，12tan2θ－25tanθ＋12＝0，解得tanθ＝34或43.8．(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角，且cosα＋π6＝35，则cosα＋3π2＝________．解析：因为0απ2，所以π6α＋π62π3，又cosα＋π6＝35，所以sinα＋π6＝45，则cosα＋3π2＝sinα＝sinα＋π6－π6＝sinα＋π6cosπ6－cosα＋π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.答案：43－3109．(2019·兰州市诊断考试)已知sinα＋cosα＝75，sinαcosα，则tanα＝________．解析：法一：由题意，将已知等式两边平方并化简可得sinαcosα＝1225，因为sinαcosα，sin2α＋cos2α＝1,所以sinα＝45，cosα＝35，所以tanα＝43.法二：由题意，将已知等式两边平方并化简可得sinαcosα＝1225，所以sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝1225，即12tan2α－25tanα＋12＝0，解得tanα＝43或tanα＝34，因为sinαcosα，所以tanα＝43.答案：4310．(2019·河南安阳一模)若1＋cosαsinα＝3，则cosα－2sinα＝________．解析：由已知得sinα≠0，且3sinα＝1＋cosα0，即cosα＝3sinα－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sinα－1)2，解得sinα＝35，所以cosα－2sinα＝3sinα－1－2sinα＝sinα－1＝－25.答案：－2511．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos（π＋θ）cosθ[cos（π－θ）－1]＋cos（θ－2π）sinθ－3π2cos（θ－π）－sin3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sinθ＝13，所以sinθ＝－13，所以原式＝－cosθcosθ（－cosθ－1）＋cos（2π－θ）－sin3π2－θcos（π－θ）＋cosθ＝11＋cosθ＋cosθ－cos2θ＋cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝2－132＝18.12．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)求tanA的值．解：(1)因为sinA＋cosA＝15，所以(sinA＋cosA)2＝125，即1＋2sinAcosA＝125，故sinAcosA＝－1225.(2)在△ABC中，sinA0，又sinAcosA0，所以cosA0，所以sinA－cosA0，所以sinA－cosA＝（sinA－cosA）2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝75，①又sinA＋cosA＝15，②由①②知，sinA＝45，cosA＝－35，因此tanA＝sinAcosA＝－43.[综合题组练]1．(创新型)(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cosθ，sinθ)，B(2cosθ＋sinθ，5cosθ－sinθ)，则直线AB的斜率为()A．3B．－4C.13D．－14解析：选D.由题意知tanθ＝3，kAB＝5cosθ－sinθ－sinθ2cosθ＋sinθ－cosθ＝5－2tanθ1＋tanθ＝－14.故选D.2．(创新型)(2019·湖北部分重点中学联考)已知θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝m，m∈(0，1)，则tanθ的可能取值为()A．－3B．3C．－13D.13解析：选A.由m∈(0，1)，得sinθ＋cosθ0，所以θ∈0，3π4.又因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝m2，m∈(0，1)，从而得2sinθcosθ0，得θ∈π2，π.综上可得θ∈π2，3π4，则tanθ－1，所以可能的取值为－3，故选A.3．(应用型)若方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2内有解，则a的取值范围是________．解析：方程cos2x－sinx＋a＝0，即sin2x＋sinx－a－1＝0.由于x∈0，π2，所以0sinx≤1.设sinx＝t∈(0，1]，则问题转化为方程t2＋t－a－1＝0在(0，1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12在区间(0，1]的左侧，图象如图所示．因此f(t)＝0在(0，1]上有解，当且仅当f（0）0，f（1）≥0，即－1－a0，1－a≥0，解得－1a≤1，故a的取值范围是(－1，1]．答案：(－1，1]4．(应用型)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2，又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝34，得sinθ＝32，cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0，2π)，故θ＝π3或θ＝π6.