第2章　§2.11　函数的零点与方程的解

§2.11函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有⇔函数y＝f(x)的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)0.()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．()教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()2．函数y＝3x－lnx的零点所在区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)延伸探究用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,33x-－log2x3＝0，则()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x2x3x1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)(2)若abc，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－12log|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为()A．404B．405C．406D．203听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝|lgx|，x0，－x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为()A．3B．7C．5D．6(2)函数f(x)＝36－x2·cosx的零点个数为______．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝4－x2，x≤2，log3x－1，x2，g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为()A．(22－6,0)B．(23－6,0)C．(－2,0)D．(25－6,0)听课记录：______________________________________________________________命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－1＋axx.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A.－∞，43B.0，43C．(－∞，0)D.43，＋∞听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．0a3B．1a3C．1a2D．a≥2(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝lnxx，x0，x2＋2x，x≤0，若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为()A．(－1,0)B.－1，1eC.0，1eD.0，1e∪{－1}