2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第9章　§9.3　一元线性回归模型及其应用

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§9.3一元线性回归模型及其应用考试要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nyi－y2.(2)当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型(1)我们将y^＝b^x＋a^称为Y关于x的经验回归方程，其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a^＝y－b^x.(2)残差：观测值减去预测值称为残差．常用结论1．经验回归直线过点(x，y)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2．求b^时，常用公式b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2.3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系是一种非确定性关系．(√)(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(√)(3)经验回归直线y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(×)(4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(√)教材改编题1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．则下列操作顺序正确的是()A．①②④③B．③②④①C．②③①④D．②④③①答案D解析根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据(xi，yi)，然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释．2．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是()A．－0.82B．0.78C．－0.69D．0.87答案D解析由样本相关系数的绝对值|r|越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r＝0.87的绝对值最大．3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由表中数据得到经验回归方程y^＝－2x＋a^，当气温为－4℃时，预测用电量约为()A．68度B．52度C．12度D．28度答案A解析由表格可知x＝10，y＝40，根据经验回归直线必过(x，y)得a^＝40＋20＝60，∴经验回归方程为y^＝－2x＋60，因此当x＝－4时，y^＝68.题型一成对数据的相关性例1(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3根据表格中的数据求得经验回归方程为y^＝b^x＋a^，则下列说法中正确的是()A.a^0，b^0B.a^0，b^0C.a^0，b^0D.a^0，b^0答案B解析由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以b^0.又x＝15×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y＝15×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5b^＋a^，所以a^＝1.1－5b^0.(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y^＝b^1x＋a^1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y^＝b^2x＋a^2，样本相关系数为r2.则()A．0r1r21B．0r2r11公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．－1r1r20D．－1r2r10答案D解析根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些；所以样本相关系数－1r2r10.思维升华判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r0时，正相关；当r0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b^0时，正相关；当b^0时，负相关．跟踪训练1(1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：年份201720182019202020212022利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11根据统计资料，则利润中位数()A．是16，x与y有正相关关系B．是17，x与y有正相关关系C．是17，x与y有负相关关系D．是18，x与y有负相关关系答案B解析由题意知，利润中位数是16＋182＝17，而且随着年利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正相关关系．(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．r1r2B．r1＝r2C．r1r2D．不确定答案C解析由散点图可知，用y＝b1ln(k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1||r2|；又因为x，y负相关，所以－r1－r2，即r1r2.题型二回归模型命题点1一元线性回归模型例2(2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：利率上升百分点x0.10.20.30.40.5日均存款总额y(亿元)0.20.350.50.650.8(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？参考公式及数据：①b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x，②i＝15xiyi＝0.9，i＝15x2i＝0.55.解(1)如图所示．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)由表格数据可得x＝15×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，y＝15×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以b^＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2＝0.9－5×0.3×0.50.55－5×0.3×0.3＝1.5，a^＝y－b^x＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y^＝1.5x＋0.05.(3)设利率需上升x个百分点，由(2)得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以预测利率需上升0.8个百分点．命题点2非线性回归模型例3(2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．xyui＝17(xi－x)2i＝17(xi－x)·(yi－y)i＝17(ui－u)2i＝17(ui－u)·(yi－y)53.50.22300.77表中ui＝1xi，u＝17i＝17ui.(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君数量x的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元(假设能够全部售出)．附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其经验回归方程v^＝β^ω＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nωi－ωvi－vi＝1nωi－ω2，α^＝v－β^ω.解(1)由散点图判断y＝c＋dx更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的经验回归方程．(2)先建立y关于u的经验回归方程得y^＝c^＋d^u，由于d^＝i＝17ui－uyi－yi＝17ui－u2＝70.7＝10，故c^＝y－d^u＝3.5－10×0.2＝1.5，所以预测y关于u的经验回归方程为y^＝1.5＋10u，从而y关于x的经验回归方程为y^＝1.5＋10x.(3)假设印刷x千册，依据题意得9x－1.5＋10xx≥80，解得x≥12，所以预测至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元．思维升华求经验回归方程的步骤跟踪训练2(2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：外卖份数x(份)24568收入y(元)3040605070(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于份数x的经验回归方程；(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．参考数据公式：i＝15x2i＝145，i＝15xiyi＝1380，b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.解(1)作出散点图如图所示．(2)由表格数据得，x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝30＋40＋60＋50＋705＝50，则b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a^＝y－b^x＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求经验回归方程为y^＝6.5x＋17.5.(3)当x＝12时，y^＝12×6.5＋17.5＝95.5，即外卖份数为12时，预测收入为95.5元．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型三残差分析例4(1)(多选)下列说法正确的是()A．在经验回归方程y^＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y^平均减少2.3个单位B．在经验回归方程y^＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好答案BCD解析对于A，根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y^平均减少0.85个单位，故A错误；对于B，当解释变量x＝1时，响应变量y^＝1.45，则样本点(1,1.2)的残差为－0.25，故B正确；对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C正确；对于D，由决定系数R2的意义可知，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确．(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材