专题4.5 恒成立问题和存在性问题（原卷版）

专题4.5恒成立问题和存在性问题题型一最值法题型二分离参数法题型三分类讨论法题型四指对数同构题型五双变量问题题型一最值法例1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的Ra及任意的1,x，不等式22ln1axakx恒成立，则实数k的取值范围是（）A．0,eB．0,1C．1,eD．1,e例2．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数3Rfxaxxa.(1)若直线21yx是函数yfx图像的一条切线，求实数a的值；(2)若0a，当0x时，不等式26sinxaxfx恒成立，求实数a的取值范围.练习1．（2023·全国·高三专题练习）函数ln1fxaxx，若存在0,e0x使得00fx，则实数a的取值范围是______．练习2．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数ln||fxx，若存在实数x使不等式222ln2fxxxab成立，则实数ab的取值范围为（）A．3ln2,82B．ln22,C．ln23,28D．38,练习3．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数1ln()eaxxfxxx.(1)若0a，关于x的不等式()fxm恰有两个整数解，求m的取值范围；(2)若()fx的最小值为1，求a.练习4．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有1elnln0eaxaafxax在定义域内恒成立，则a的取值范围为（）A．0,1B．21,eC．20,eD．0,练习5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）若不等式222elneln2exaaxxa在[1,2]x有解，则实数a的取值范围是（）A．21,e2eB．221,eeC．421,eeD．41,ee题型二分离参数法例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2exbfxxx，若对于0,x，均有1fx，则实数b的取值范围为_____例4．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知lnfxxx，322gxxaxx.(1)讨论函数yfx在0,0mm上的单调性；(2)对一切实数0,x，不等式22fxgx恒成立，求实数a的取值范围.练习6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数elnxafxx.(1)当0a时，求曲线yfx在1,1f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在0e,x，使0()0fx成立，求a的取值范围.练习7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知22ln,3fxxxgxxax.(1)求函数fx的最小值；(2)若存在0,x，使fxgx成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切0,x，都有22eexxfx成立．练习8．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数2()e,()1xfxgxx，对任意1xR，存在2(0,)x，使12fxgx，则21xx的最小值为（）．A．1B．2C．2ln2D．31ln222练习9．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若不等式e110xxmx对0,x恒成立，则整数m的最大值为（）A．1B．2C．3D．4练习10．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数ln1xfxxx．(1)求fx的单调区间；(2)若对于任意的0,x，1exfxxax恒成立，求实数a的最小值．题型三分类讨论法例5．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数()lnfxx，()1gxkx.(1)若()()gxfx恒成立，求实数k的取值范围.(2)证明：当(0,1)x时，1ln1e2xxxx.6．（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题）已知函数21eaxxfx，Ra.(1)讨论fx的单调性；(2)若关于x的不等式121fxmxx恒成立，求实数m的取值范围.练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2ln,.fxaxxgxx当0a时，若对于区间1,2上的任意两个不相等的实数12,xx，都有1212fxfxgxgx成立，则实数a的取值范围__________.练习12．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若关于x的不等式e(2)ln0xxaxax恒成立，则实数a的取值范围是_____.练习13．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数sinexxfx．(1)讨论fx在0,π上的单调性；(2)若对于任意π0,2x，若函数fxkx恒成立，求实数k的取值范围．练习14．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知2eln20axaxa在2,a上恒成立，则实数a的取值范围________．练习15．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数ln20()axxafx，若不等式222e()ecos(())axxxfxfx对0x恒成立，则实数a的取值范围为__________.题型四指对数同构例7．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式1elnaxaxx在区间20,e上有解，则实数a的取值范围是（）A．0,B．11e,C．21e,D．1,例8．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知不等式lnlnexaxaa对任意0,x恒成立，则实数a的取值范围是______．练习16．（2023春·湖北·高二校联考期中）若存在正实数x，使得不等式1ln2ln20axxaa成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为（）A．eln2B．ln2eC．1eln2D．ln22练习17．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）若不等式3e2lnlnxaxax对任意0,x成立，则实数a的取值范围为__________．练习18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式2e2lnlnxaxxxa恒成立，则a的取值范围为______.练习19．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知a0，不等式lne0xaaxxx对1,x恒成立，则实数a的最小值为__________.练习20．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数exfxaxaR.(1)试求函数fx的极值；(2)若存在实数0x使得2ee1ln0bxxxbxxx成立，求实数b的取值范围.题型五双变量问题例9．（2023春·贵州·高三校联考期中）（多选）已知elnmn，且0mnk恒成立，则k的值可以是（）A．－2B．0C．2D．4例10．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数2ln,exfxgxxaxx（e是自然对数的底数）(1)求fx在1,1f处的切线方程.(2)存在(0,),()0xgx成立，求a的取值范围.(3)对任意的0,m，存在1,3n，有fmgn，则a的取值范围.【答案】(1)10xy(2)0,(3)1e,e练习21．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数2()ln1(R)fxxaxaa，e().exxgx(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若12()()gxgx（其中12xx），证明：12112xx；练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数esin1xfxgxtx，，设hxfxgx.(1)若hx在ππ,22上单调递增,求实数t的取值范围;(2)求证:0,t;对R,0,xa,使得xhxa总成立.练习23．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数12ln2fxaxaxx.(1)讨论函数fx的单调性；(2)当8,2a时，若存在1x，21,2x，使得121ln22ln2ln2fxfxmaa恒成立，求实数m的取值范围．练习24．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知函数()ln1fxaxax.(1)当1a时，求fx的图像在点(1,(1))f处的切线方程；(2)若不等式()exfxx恒成立，求a的取值集合.练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数exfxx，lngxxx，则下列说法正确的是（）A．exg在0,上是增函数B．1x，不等式2lnfaxfx恒成立，则正实数a的最小值为2eC．若fxt有两个零点12,xx，则120xxD．若122fxgxtt，且210xx，则21lntxx的最大值为1e