人教版-七年级上--第一章有理数--知识点总结及易错题

1新课标人教版数学七年级（上）知识要点概括第一章有理数1.（1）正数：大于零的数；（2）负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）；注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点；②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数；③字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。④正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数；⑵正分数和负分数统称为分数；⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数；②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数；③-a不一定是负数，+a也不一定是正数；3.有理数的分类⑴按有理数的定义分类⑵按性质符号来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数⑤0是整数不是分数。4.规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一。（4）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大2小的确定都是根据实际需要规定的。5.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右侧的点表示，负有理数可用原点左侧的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）6.数轴的画法（1）画一条直线，在这条直线上任取一个点作为原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或左）为正方向，从原点向左（或右）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，….7.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。8.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数9.a可以表示什么数⑴a0表示a是正数；反之，a是正数，则a0；⑵a0表示a是负数；反之，a是负数，则a0；⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0；10.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。11.归纳数轴上的点的意义：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.12.只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。13.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=014.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点。3说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。15.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)16.相反数的表示方法⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0时，-a0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）17.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。18.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|，读作：a的绝对值.19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离，如：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是非负数（0的绝对值是0）20.绝对值的计算规律：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等（2）若ba，则a=b或a=-b；（3）若0,0,0baba则21.绝对值的代数定义1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0的绝对值是022.可用字母表示为：①如果a0，那么|a|=a；②如果a0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。可归纳为①：a≥0═|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）②a≤0═|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）23.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0═|a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：即：|a|≥a；0a1aa；0a1aa；⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=±a；⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；注意：4|a|·|b|=|a·b|,baba；⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）24.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。（3）正数的绝对值越大，这个数越大；（4）正数永远比0大，负数永远比0小；（5）正数大于一切负数；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.25.已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离。一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。26.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与0相加，仍得这个数。27.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)28.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。29.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。30.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）5=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-53-21+43-52+21-87原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87)=-1+0-81=-181Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25)原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141)=81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-351+10116-12221+4157原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221)=-1+154+2211=-1+308+3015=-307Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）32.有理数的乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）②任何数同0相乘，都得0；③几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；④几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.33.乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·a1=16（a≠0），就是说a和a1互为倒数，即a是a1的倒数，a1是a的倒数。①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。⑤若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.34.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：ab=ba⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac35.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a.（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于