生产与贮存的控制

生产与贮存的控制摘要摘要正文：本文研究的是以变分法建立模型的（即动态优化模型）。动态过程常常用微分方程模型描述，基于动态过程的优化问题一般要归结为求最优化控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值通常有的两种方法：古典变分法和最优控制论。本文采用的是最优控制论方法求解问题。关键词：变分法，加权因子，状态反馈，指标函数符号说明（1）x(t)为t时刻的存储量；（2）u(t)为单位时间的产量；（3）v(t)为单位时间的销量；（4）0u为合理的设生产率；（5）0x为合理的贮存量；（6）mv为单位时间的销量的最大值；（7）mu为单位时间的产量的最大值；问题X44、一家集生产,销售于一体的公司,希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上,如果销售量可以预测,公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略.(1)以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的(加权)平方和最小为目标,给出泛函极值问题.(2)设销售量为常数,求出最优解,并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系.假设与建模假设在某个时间区间[0,T]内讨论某个产品，销售与贮存问题。设时刻t的存储量为x(t)，单位时间的产量和销量分别为u(t)和v(t)，则状态方程为()()()dxtutvtdt=−（1）为确定起见，不妨设贮存量x(t)的端点条件为x(t)=0,x(T)=0,（2）实际上对生产率和贮存量都会有所限制，不妨设为0(),0()mmutuvtv≤≤≤≤,（3）控制生产率u(t)的目的是在满足条件（1），（2），（3）下使生产率和贮存量都尽可能的平稳。设合理的设生产率为u0，合理的贮存量为0x，那么指标泛函就可以用二次型函数的积分表示，即使2220001[()][()][()]22TJututuxtxdtα⎧⎫=−+−⎨⎬⎩⎭∫（4）达到最小值。其中α是加权因子，用来调节u（t）稳定和x（t）稳定二者之间的重要程度，并应具有时间倒数的量纲。这样，问题就归结为在约束条件(1)，(2)，(3)下求u（t）使（4）的泛函J达到最小值。这就是生产与贮存控制的一般函数。模型求解从（1）式中解除u（t）代入（4），为简化求解过程，设销量为已知常数即v（t）=0v，有2'2200001[()][()][()]22TJxtxtvuxtxdtα⎧⎫=+−+−⎨⎬⎩⎭∫（5）先考虑由（2）与（5）式构成的固定端点的泛函极值。由变分法，根据欧拉方程可得最优解x（t）应满足方程2000()(')0dxxxvudtα−−+−=即20''()0xxxα−−=（6）（6）在端点条件（2）下的解为00(1)(1)()TTTTTTeeeextxxeeαααααα−−−−+−=−−（7）将（7）代入（1）式得00(1)(1)()TTTTTTeeeeutvxeeααααααα−−−−+−=−−（8）（7）和（8）分别为最优状态函数和最优控制函数。模型分析为了研究最优解u（t）和x（t）之间的关系，由（7），（8）两式可以得到0002(1)()[()]TTTTxeutvxxteeeαααααα−−−=+−−−令T→∞（即稳定状态的情形），则对任意有限的t，上式右端最后一项趋于零，于有00()uvxxα=+−（9）此式表明：在稳定情况下，最优控制函数u（t）可以用状态函数x（t）的线性关系表示，成为状态反馈。当贮存量x（t）增加时，应降低生产率;x(t)减少时，则提高生产率。这种控制方式称为状态负反馈。他比形如（9）式的显含时间t的控制函数应用起来方便得多，只需根据易于观测的状态x就可以决定控制量u。在来考虑约束条件（3）。利用双曲函数可将（7），（8）两式重新表示为0()()[1]chaTtshatxtxshaT−+=−（10）00()()chaTtshatutvxshaTα−−=+（11）根据（10），（11）式，图2-2画出了最优解x（t）和u（t）的示意图。由图可见，只要0,mxx≥就有0()mxtx≤≤，即兴x（t）满足条件（3），而给出的参数mx和0x自然应该有0mxx≥。别一方面，因为00000001max()1min()tTmtTchaTutuvxshaTchaTutuvxshaTαα≤≤≤≤−==+−==−所以只要(0)muu≤。在这样的条件下（7），（8）两式给出的x（t），u（t）也就考虑到约束条件（3）的原问题的最优解，因为在约束条件的边界上泛函极值问题（2），（5）不可能得到优于（7），（8）的解。但是，如果（7），（8）表示的x(t),u(t)超出了条件（3）的限制，这时就会出现模型求解非常复杂，变分法无能为力的情形杭州纹身参考文献[1]姜启源．数学建模.北京；高等教育出版社，1993[2]林珍．变分法与最优控制．哈尔滨；哈尔滨工业大学出版，1987[3]彭旭麟．变分及其应用．武汉；华中工学院出版社，1983