函数的周期性历年经典习题

常见结论(约定a0)函数关于某点对称（a,b）,f(x)=2b-f(2a-x)函数关于x=a对称f(a+x)=f(a-x)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）()()fxafx－，或()()fxafx－a或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,则)(xf的周期T=2a；例1：设()fx是定义在R上的奇函数，(4)()fxfx－且(3)f5，则(21)f－______________，(2005)f______________例2：设()fx是定义在R上的偶函数，且满足1(2)()fxfx，当0≤x≤1，()fx2x，则(7.5)f______________例3：设()fx是定义在R上的奇函数，且(2)(2)fxfx，(1)f2，则(2)(7)ff______________练习1、函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_______________2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)23．已知函数)(xfy是一个以4为最小正周期的奇函数，则)2(f（）A．0B．－4C．4D．不能确定4、设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____5、定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为_________6、已知()fx是偶函数，且(1)f=993，()gx=(1)fx是奇函数，求(2005)f的值7、已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有__________个实数根8、已知()fx是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则()fx是（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数1.定义在R上的函数f(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于()A．－1B．0C．1D．42．已知函数f()x是定义域为R的偶函数，且f()x＋2＝f()x，若f()x在[]－1，0上是减函数，那么f()x在[]2，3上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数3．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(－6,6)内解的个数的最小值是()A．10B．8C．6D．45．(2009年深圳调研)设f(x)＝1＋x1－x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2009(x)＝()A．－1xB．xC.x－1x＋1D.1＋x1－x6．(2009年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)7．(2009年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.8．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2009]上的所有x的个数．9．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2009,2009]上的根的个数，并证明你的结论．