太阳影子定位问题(数学建模-)

太阳影子定位的计算模型摘要本文研究的内容是如何提取视频中物体的太阳影子的变化数据，并且依据该数据利用太阳影子定位技术来确定视频拍摄的地点及拍摄日期。针对问题一，首先我们明确了太阳影子的长度𝑙和日序𝑁、北京时间𝑡𝑏、纬度𝜑𝑥、经度𝜑𝑦、真实杆高ℎ这几个因素有关，然后我们查阅了相关资料，通过太阳高度角α、时角𝛽、赤纬δ这几个量将上述几个参数联系起来，从而建立了有关影长变化的数学模型，根据该模型利用MATLAB做出影长关于各参量的变化图，并分析了其变化规律，最后将问题一中所给条件代入模型中，作出了太阳影子长度变化曲线。问题二实为问题一中模型的逆向思考。问题实质为，在已知影长𝑙、日序𝑁和北京时间𝑡𝑏的的情况下求可能的经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦。为此我们引入了一个新的参量影长比𝐶𝑖以消除附件所给数据中杆高ℎ未知的影响，再利用影长比𝐶𝑖的变化建立了直杆地点的空间匹配模型，结合附件1所给数据，采用最小二乘法拟合的方法求解得到可能的目标地点为：海南省东方市（108.7118°E，19.2360°N）。问题三相较问题二又多了一个代求参量日序𝑁，我们仍沿用上问的模型，根据附件2、3的数据用最小二乘法拟合的方法求解，得到附件2可能的测量地点和日期为：新疆维吾尔自治区喀什地区，5月26日（79.8255°E，40.0325°N，𝑁=146）；附件3可能的测量地点和日期为：湖北省神农架林区，11月17日（110.3718°E，31.5198°N，𝑁=321）。针对问题四，我们首先将视频材料以3分钟为间隔得到14张静态图片，对这些图片进行灰度处理，然后采用Otus最大类间误差法把杆子和影子从背景中分割出来，从而得到影子实际长度和灰度值坐标的转换关系，最终得到了8:54-9:33每隔3分钟的影子长度，再利用问题二模型得出视频的拍摄地点为：内蒙古鄂尔多斯市（109.45°E,39.65°N，），假设拍摄日期也未知，则利用问题三的模型求解出的拍摄日序为203即7月22日，与真实时间7月13日误差较小，说明模型较为精确，得到的结果较为可靠。关键词：太阳影子最小二乘拟合图像处理灰度值坐标Otus最大类间误差法1.问题重述如何确定一个视频所处的拍摄地和拍摄日期是视频的数据分析的重要内容，而其中一种方法就是太阳影子定位技术，即通过分析视频里物体太阳影子的变化来确定视频拍摄地和日期。在本文中，我们将研究以下几个问题：1.由于太阳影子的长度是随着各种因素的变化而变化的，因此建立影子长度变化的数学模型，然后分析长度关于各个参数的变化规律，将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆这些条件带入模型，画出影子长度的变化曲线。2.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用以确定其所处的地点。再将附件1的影子顶点坐标数据代入该模型，求解出所有可能的地点。3.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用以确定其所处的地点和日期。将附件2和附件3的影子顶点坐标数据带入模型，一次性给出若干个可能的地点与日期。4.根据附件4里视频中太阳影子的变化，并且已经通过一定方法得知了杆子的高度，请建立一个能确定视频拍摄地点的数学模型，然后用该模型去确定可能的拍摄地点，如果拍摄日期也未知，考虑能否根据视频确定出拍摄地点和日期。2.问题分析针对问题一，首先我们明确了太阳影子的长度𝑙和日期𝑁、北京时间𝑡𝑏、纬度𝜑𝑥、经度𝜑𝑦、真实杆高ℎ这几个因素有关，然后我们查阅了相关资料，通过太阳高度角α、时角𝛽、赤纬δ这几个量将上述几个参数联系起来，从而可以建立有关影长变化的数学模型，将问题一中所给条件代入模型即可作出太阳影子长度变化曲线。针对问题二，附件1给出了2015年4月18日时，某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，但规定的𝑥轴方向和𝑦轴方向未知。可将顶点坐标数据转化为影长𝑙，从而经问题二转化为问题一的逆向求解，由于未知参量较多，先通过引入影长比𝐶𝑖消除杆高ℎ未知的影响，再采用最小二乘法拟合的方法【2】求解即可。针对问题三，附件2、3给出的是某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，且规定的𝑥轴方向和𝑦轴方向未知，相较第二问多了一个待求参量日序𝑁。沿用上述模型，算法复杂度仅有较小的常数级数增长，沿用第二问的算法理论上仍可行。针对问题四，我们首先将视频材料以3分钟为间隔得到14张静态图片，对这些图片进行灰度处理，然后采用Otus最大类间误差法把杆子和影子从背景中分割出来，从而得到影子实际长度和灰度值坐标的转换关系，最终得到了8:54-9:33每隔3分钟的影子长度，再利用问题二和问题三的模型即可求得拍摄地点和日期。3.模型假设与符号系统3.1模型的假设（1）假设地球是一个规则的球体；（2）假设直杆在测量过程中相对地面是完全静止的；（3）假设太阳光线为平行光线，且测量时天气晴朗；（4）忽略大气层对太阳光的折射、高山阻挡、海拔高度等因素的影响；（5）假设一天中太阳直射点的纬度不变。3.2符号系统符号符号说明单位𝒍太阳影子的长度米𝒉直杆高度米𝜶太阳高度角度𝝋𝒙纬度度𝝋𝒚经度度𝜹赤纬度𝜷时角/𝒃地球公转的相对角度/𝑵以每年1月1日为第一天开始计算的日序天𝒕𝒃北京时间/𝒕当地地方时/4.模型的建立与求解4.1问题一的分析与求解4.1.1模型的准备我们先将本问题中需要用到的名词进行解释，具体如下：（1）地方时：以一个地方太阳升到最高的地方的时间为正午12时，将连续两个正午12时之间等分为24个小时，所成的时间系统，称为地方时。𝑡=𝑡𝑏+𝜑𝑦−120∘15∘其中：𝑡𝑏为北京时间；𝜑𝑦为当地的地理经度。（2）太阳高度角【1】：对于地球上的某个地点来讲，太阳光线的入射方向和该地与地心相连的地表切面的夹角。（3）时角𝛽【2】：这是天文学中的名词，某个天体的时角被定义为该天体的赤经（RA）与当地的恒星时（LST）的差值，即恒星时减去赤经。所以，一个天体的时角表示该天体是否通过了当地的子午圈。它的数值则表示了该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位，以小时来计量（1HA=15度）。如果以北京时间为标准时间，则有：𝛽=15∘（𝑡−12）(𝜋180∘)（4）赤纬δ：是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，由于地球的公转，它每时每刻都在变化着，其中在春分和秋分时刻等于零，而在夏至和冬至时刻有极值，分别为正负23.442°，太阳赤纬角在公转运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，利用查得的公式【2】可以得出结果δ=0.006918−0.399912cos𝑏+0.070257sin𝑏−0.006758cos2𝑏+0.000907sin2𝑏−0.002697cos3𝑏+0.00148sin3𝑏𝑏=2𝜋(𝑁−1)/365其中：𝑏是地球公转的相对角度，𝑁是以每年1月1日为第一天开始计算的日序。上述定义中所提及的各角度汇总见下图：t图1太阳高度角、太阳赤纬示意图4.1.2影子长度变化的数学模型根据假设，视太阳光为平行光，竖立在A地的直杆在太阳光CD的照射下形成影子AD，示意图如下：图2直杆投影的几何模型由图可知，直杆的长度ℎ与其太阳影子𝑙的长度之间有如下关系：𝑙=ℎcot𝛼联系以上各关系式可以得到如下的有关影子长度变化的数学模型：{𝑙=ℎcot𝛼sin𝛼=sin𝜑𝑥sin𝛿+cos𝜑𝑥cos𝛿cos𝛽δ=0.006918−0.399912cos𝑏+0.070257sin𝑏−0.006758cos2𝑏+0.000907sin2𝑏−0.002697cos3𝑏+0.00148sin3𝑏𝑏=2𝜋(𝑁−1)/365𝛽=15∘（𝑡−12）(𝜋180∘)𝑡=𝑡𝑏−120∘−𝜑𝑦15∘其中，自变量为𝑁、𝑡𝑏、𝜑𝑦、𝜑𝑥、ℎ，因变量为𝑙。4.1.3影子长度关于各参数的变化规律根据上述模型，我们分别取杆高ℎ、北京时间𝑡𝑏、经度𝜑𝑦、纬度𝜑𝑥、日序𝑁为唯一变量，代入求解得到以下结论：（1）当北京时间𝑡𝑏、经度𝜑𝑦、纬度𝜑𝑥、日序𝑁固定时，影子长度𝑙随着真实杆高ℎ的增大而增大。（2）当真实杆高ℎ、经度𝜑𝑦、、纬度𝜑𝑥日序𝑁固定时，影子长度𝑙随着北京时间𝑡𝑏的增加呈现先减少后增加的趋势。如下图：图3影长随北京时间的变化规律（3）当真实杆高ℎ、北京时间𝑡𝑏、纬度𝜑𝑥、日序𝑁固定时，影子长度𝑙随着经度𝜑𝑦的变化出现两个峰值。如下图：图4影长随经度的变化规律（4）当真实杆高ℎ、北京时间𝑡𝑏、经度𝜑𝑦、日序𝑁固定时，影子长度𝑙随着纬度𝜑𝑥的变化呈现出从赤道处往两极方向增长的趋势。并且出现一个峰值。如下图：图5影长随纬度的变化规律（5）当真实杆高ℎ、北京时间𝑡𝑏、纬度𝜑𝑥、经度𝜑𝑦固定时，影子长度𝑙随着日序𝑁的增加呈现先减少后增加的趋势。如下图：图6影长随日序的变化规律4.1.4按题目条件求解根据上述所建立的模型，将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆这些条件代入，即已知ℎ=3𝜑𝑥=39.9072254°𝑁𝜑𝑦=116.3913982°𝐸𝑁=294𝑡𝑏=𝑓𝑟𝑜𝑚9𝑡𝑜15可以得到如下太阳影子长度变化的曲线。图7题目所给时间地点的影长变化曲线从图中，我们发现在北京时间9:00-15:00的过程中，太阳影子的长度先从7.23米单调递减直至3.61米，此时为北京时间12：12，此后影子长度单调递增直至5.95米。4.2问题二的分析与求解4.2.1问题分析问题二中，附件1给出的是测量日期为2015年4月18日时，某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，且规定的𝑥轴方向和𝑦轴方向未知。此问实为第一问的变形，即第一问是在已知杆长ℎ、日序𝑁、北京时间𝑡𝑏、经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦的情况下求影长𝑙，而本问是在已知日序𝑁、北京时间𝑡𝑏、影长𝑙的情况下求可能的经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦。因此本题需要考虑如下问题：1.如何建立模型，解决所求目标变量变化的问题；2.如何消除杆长ℎ未知的影响；3.未知变量较一问有所增加，需考虑如何解决所求目标变量增加的问题由于附件中并没有给固定直杆的长度ℎ，因此不能继续依照直接公式推导求定值的方法，需引入新的参量影长比𝐶𝑖，并采用最小二乘法拟合的方法【3】解决上述3个问题。4.2.2模型的建立（1）确定目标函数已知{sin𝛼𝑖=sin𝜑𝑥sin𝛿+cos𝜑𝑥cos𝛿cos𝛽𝑖𝑙𝑖=ℎcot𝛼𝑖，𝑖=1,2,…,𝑛其中，𝛼𝑖表示在第𝑖个给定条件（日序𝑁、时刻𝑡、经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦一定）时的太阳高度角,𝛽𝑖表示在第𝑖个给定条件（日序𝑁、时刻𝑡、经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦一定）时的时角，𝑙𝑖表示在第𝑖个给定条件（日序𝑁、时刻𝑡、经度𝜑𝑥、纬度𝜑𝑦一定）时的影长。可得该地相邻时间段的影长比𝐶𝑖=|𝑙𝑖𝑙𝑖+1|=|ℎ⋅cot𝛼𝑖ℎ⋅cot𝛼𝑖+1|=|cot𝛼𝑖cot𝛼𝑖+1|而附件一所给数据中，影长比𝐷𝑖=√𝑥𝑖2+𝑦𝑖2√𝑥𝑖+12+𝑦𝑖+12所以，目标函数为minξ=∑(𝐶𝑖−𝐷𝑖)2𝑛𝑖=1（2）建立直杆地点的空间匹配优化模型{minξ=∑(𝐶𝑖−𝐷𝑖)2𝑛𝑖=1𝐶𝑖=|cot𝛼𝑖cot𝛼𝑖+1|𝐷𝑖=√𝑥𝑖2+𝑦𝑖2√𝑥𝑖+12+𝑦𝑖+12sin𝛼=sin𝜑𝑥sin𝛿+cos𝜑𝑥cos𝛿cos𝛽δ=0.006918−0.3999