2007年福建省高考数学试卷(理科)及解析

第1页（共17页）2007年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•福建）复数等于（）A．B．﹣C．iD．﹣i2．（5分）（2007•福建）数列{an}的前n项和为sn，若，则s5等于（）A．1B．C．D．3．（5分）（2007•福建）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁RB）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a＜1C．a≥2D．a＞24．（5分）（2007•福建）对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（）A．若•=0，则=0或=0B．若λ=，则λ=0或=C．若2=2，则=或=﹣D．若•=•，则=5．（5分）（2007•福建）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称6．（5分）（2007•福建）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0D．x2+y2+20x+9=07．（5分）（2007•福建）已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）（2007•福建）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α第2页（共17页）9．（5分）（2007•福建）把1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则等于（）A．B．C．1D．210．（5分）（2007•福建）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（）A．B．C．D．11．（5分）（2007•福建）已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（x）＞0B．f′（x）＞0，g′（x）＜0C．f′（x）＜0，g′（x）＞0D．f′（x）＜0，g′（x）＜012．（5分）（2007•福建）如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•福建）已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的取值范围是．14．（4分）（2007•福建）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．15．（4分）（2007•福建）两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=．16．（4分）（2007•福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•福建）在△ABC中，tanA=，tanB=．第3页（共17页）（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．18．（12分）（2007•福建）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离．19．（12分）（2007•福建）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x元（8≤x≤9）时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M（a）．20．（12分）（2007•福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；第4页（共17页）（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．21．（12分）（2007•福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，，．（1）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn；（2）设（n∈N+），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．（14分）（2007•福建）已知函数f（x）=ex﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．第5页（共17页）2007年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】直接化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数并化简．【解答】解：=，故选D【点评】复数代数形式的运算，是基础题目．2．（5分）【考点】数列的求和．菁优网版权所有【分析】根据通项公式的特点，拆成的形式求s5．【解答】解：∵=，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=，故选B【点评】本题所用的方法在求和中常用，称为裂项相消法．3．（5分）【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】由题意知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，∴∁RB={x|x≤1或x≥2}，因为A∪∁RB=R，所以a≥2，故选C．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容．4．（5分）【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．菁优网版权所有【分析】本题是对几个常见的基本概念的考查，第一个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第二个考的是数乘运算，当一个实数和一个向量的积是零时，有两种情况，一是实数为零，一个是向量是零向量，本选项正确．【解答】解：⊥时也有•=0，A不正确；第6页（共17页）B正确；设，，此时2=2，但=或=﹣不成立，C错误；∵•=•得不到=，如为零向量或与、垂直时，D错误；故选B．【点评】在实数中，若a≠0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠0，且×=0，不能推出=0．因为其中cosq有可能为0．在做有关向量问题时，不要凭想当然做事，不然会出错．5．（5分）（【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【分析】先根据最小正周期的值求出w的值确定函数的解析式，然后令2x+=kπ求出x的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π得ω=2，由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（k∈z），当k=1时为（，0），故选A【点评】本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性．6．（5分）【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【分析】求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0，故选A．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．7．（5分）【考点】函数单调性的性质．菁优网版权所有【分析】由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．第7页（共17页）【解答】解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选C【点评】本题主要考查函数单调性的应用：利用单调性解不等式，其方法是将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．8．（5分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】结合题意，由面面平行的判定定理判断A，面面平行的定义判断B，线面垂直的定义判断C，利用平行和垂直的结论判断．【解答】解：A不正确，m、n少相交条件；B不正确，分别在两个平行平面的两条直线不一定平行；C不正确，n可以在α内；故选D【点评】本题主要考查了面面平行的判定定理及定义，线面垂直的定义及一些结论来判断空间线面的位置关系，培养逻辑思维能力．9．（5分）（【考点】二项式定理的应用；极限及其运算．菁优网版权所有【分析】令x=1求出展开式中各项系数和，再利用极限公式求值．【解答】解：令x=1得an=1+2+22+…+2n=，，故选项为D【点评】本题考查二项式定理以及极限的求法，赋值法是求各项系数和的重要方法．10．（5分）【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有【分析】因为四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC为直角，就可以求出AC的距离．【解答】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R2=1+1+2=4得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为，故选B．【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球的结构认识，是基础题．11．（5分）【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义．菁优网版权所有第8页（共17页）【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．12．（5分）【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【分析】从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C13种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为=．故答案选D．【点评】本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有【分析】先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．【解答】解：画出可行域，如图所示解得B（﹣1，3）、C（5，3），把z=2x﹣y变形为y=