微分中值定理的证明及其应用--数学毕业论文

2014届本科毕业论文（设计）题目：微分中值定理的证明及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文目录1.引言.............................................................3⒉微分中值定理.....................................................32.1罗日（Rolle）中值定理........................................32.2拉格朗日（Lagrange）中值定理................................32.3柯西（Cauchy）中值定理......................................43.微分中值定理的证明...............................................43.1罗日（Rolle）中值定理的证明..................................43.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明..........................53.3柯西（Cauchy）中值定理的证明................................74.微分中值定理的几何解释...........................................84.1罗日（Rolle）中值定理的几何解释..............................84.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的几何解释......................94.3柯西（Cauchy）中值定理的几何解释............................95.微分中值定理的应用...............................................96.总结.............................................................13参考文献...........................................................14致谢................................................错误!未定义书签。新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文2微分中值定理的证明及其应用摘要：在本文中主要讨论了微分中值定理，即：Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。在这里我首先分别用了图形法，行列式法，积分法给出了它们的证明和几何解释，其次对这些微分中值定理在等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性及其求近似值等中的应用技巧作了系统的总结，最后通过给出几个应用例子来进一步讨论了微分中值定理在解题、证题中的作用和应用技巧。关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文31.引言微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。微分中值定理是在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用。⒉微分中值定理2.1罗日（Rolle）中值定理若函数)(xf满足如下条件：（ⅰ）)(xf在闭区间ba,上连续。（ⅱ）)(xf在开区间ba,内可导。（ⅲ）)()(bfaf,则在ba,内至少存在一点，使得0)(f2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数)(xf满足如下条件：（ⅰ）)(xf在闭区间ba,上连续。（ⅱ）)(xf在开区间ba,内可导,则在ba,内至少存在一点，使得)(f=babfaf)()(注：拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式。可根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用：①abfafbf)()()(ba,②ababafafbf)()(0＜＜1③hhafafbaf)()()(0＜＜1新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文42.3柯西（Cauchy）中值定理设函数)(xf和)(xg满足：（ⅰ）在ba,上都连续。（ⅱ）在ba,内都可导。（ⅲ）)(xf和)(xg不同时为零。（ⅳ）)()(bgag，则存在ba,使得)()()()()()(agbgafbfgf。3.微分中值定理的证明3.1罗日（Rolle）中值定理的证明证法一：根据条件在闭区间ba,上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理，若函数)(xf在闭区间上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上能取到最小值m和最大值M.既在区间ba,上存在两点1x和2x，使mxf)(1,Mxf)(2,且对任意bax,有Mxfm)(。下面分两种情况讨论：⑴如果Mm，则)(xf在ba,上是常数，所以对xba,有f0)(x，既ba,内任意一点都可以作为，使0)(f⑵如果m＜M，由条件)()(bfaf有)(xf在ba,上两个端点a与b的函数值)(af与)(bf不能同时一个取最大值一个取最小值，既在开区间ba,内必定至少存在一点，函数)(xf在点取最大值或最小值，所以)(xf在点必取局部极值，由费马定理，有f()=0证法二：分三种情况讨论⑴kxf)(,（k是常数）图3.1.2（a）中f0)(x,ba,中任何一点都满足定理的要求。新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文5⑵图3.1.2（b）,(c)中,对于ba,中某些x，有)(xf＞)(af。根据最大最小值定理，)(xf在区间ba,中有最大值。因为)()(bfaf，所以函数)(xf一定是在区间ba,中某一点c达到最大值。因此)(xf在点c有极大值。由)(xf在点c可微的，根据费马定理可知0)(cf⑶图3.1.2(c),(d)中,对于ba,中某些x有)(xf＜)(af。根据最大最小值定理,)(xf在区间ba,中有最小值。因为)()(bfaf，所以函数)(xf一定是在区间ba,中某一点c达到最小值。因此)(xf在点c有极大值。由)(xf在点c可微的，根据费马定理可知0)(cf。3.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数kxxfxF)()(.其中kbabfaf)()(.根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道)(xF在闭区间ba,上是连续的，在开区间ba,内是可导的，并且还有)()(bFaF，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数)(xF在开区间ba,内至少存在一点，使得0)()(kfFkf)(babfaf)()(.证法二：行列式法构造辅助函数)(xF=111)()()(xbaxfbfaf，则)(xF=babfaf)()(-xaxfaf)()(+xbxfbf)()(新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文6)()()()()()()()()()()(bafabfbfafxxfbaxbfbxfxafaxfbafabf由此可得)(xF在闭区间ba,上连续。)(xF111)()()(xbaxfbfaf+111)()()(xbaxfbfaf+111)()()(xbaxfbfaf=111)()()(xbaxfbfaf=1)()(bxfbf-1)()(axfaf=)()()()(xfaafxfbbf=)()()(bfafxfba。由此可得)(xF在开区间ba,内可导。又由)(aF=0111)()()(abaafbfaf，)(bF=111)()()(bbabfbfaf=0可得0)()(bFaF.综上所述，可知)(xF满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点ba,使得0)()()()(bfaffbaf故)(Fbabfaf)()(证法三：积分法把需证之式变式()()(fabafbf0)对应改写成()()(fabafbf0)x(把换成x)证明上述方程在ba,内存在根，将上式左边对x积分，有[)()()(xfabafbf]dx=cxfabxafbf)()()(故取)(xF)()()(xfabxafbf，则)(xF在ba,上连续，在ba,内可导且)()(bFaF=)()(abfbaf。由罗尔中值定理知，至少存在一点（a＜＜b）使0)(xF既()()(fabafbf)=0新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文73.3柯西（Cauchy）中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数)()()(xkgxfxL其中k)()()()(agbgafbf根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道)(xL在闭区间ba,上是连续的，在开区间ba,内是可导的，并且还有)()(bLaL，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数)(xL在开区间ba,内至少存在一点，使得0)()()(gkfLk)()(gf故证得)()()()()()(agbgafbfxgxf证法二：行列式法构造辅助函数)(xG111)()()()()()(xgbgagxfbfaf，则)(xF=)()()()(bgagbfaf-)()()()(xgagxfaf+)()()()(xfbgxfbf)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(bfagafbgbfafxgxfbgagxfbgbfxgxfagafxgbfagafbg由此可得在闭区间ba,上连续。)(xG=111)()()()()()(xgbgagxfbfaf+111)()()()()()(xgbgagxfbfaf+111)()()()()()(xgbgagxfbfaf=111)()()()()()(xgbgagxfbfaf=)()()()(xgbgxfbf-)()()()(xgagxfaf)()()()()()()()(xfagxgafxfbgxgbf)()()()()()(xgbfafxfbgag。由此可得在开区间ba,内可导。由)(aG=111)()()()()()(agbgagafbfaf=0新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文8)(bG=111)()()()()()(bgbgagbfbfaf=0可得0)()(bGaG.综上所述，可知)(xG满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点ba,使得0)()()()()()()(gbfaffbgagG故)()(gf=)()()()(agbgafbf证法三：积分法把需证之式变式0)()()()()()(fagbggafbf对应改