高中数学人教版必修1总复习

集合结构图集合集合含义与表示集合间关系集合基本运算列举法描述法图示法子集真子集补集并集交集(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.1.集合中元素的性质:(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.(3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.自然数集（非负整数集）：记作N正整数集：记作N*或N+整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R2.常用的数集及其记法（含0）（不含0）ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝-1子集：AB任意x∈Ax∈B.真子集：ABx∈A，x∈B，但存在x0∈B且x0A.集合相等：A＝BAB且BA.空集：.性质：①A，若A非空，则A.②AA.③AB，BCAC.3.集合间的关系:子集、真子集个数：一般地，集合A含有n个元素，A的非空真子集个.则A的子集共有个;A的真子集共有个;A的非空子集个;2n2n－12n-12n-24.并集:BA}|{BxAxxBA，或BA5.交集:}|{BxAxxBA，且BABA6.全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.7.补集:UAUAUA={x|xU，且xA}UAUAUABBA:1AAA:2AA:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA类比并集的相关性质ABBA:1AAA:2A:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBABABAABABAABABAABABAA并集的性质交集的性质知识结构概念三要素图象性质指数函数应用大小比较方程解的个数不等式的解实际应用对数函数函数第二章函数的概念函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。使函数有意义的x的取值范围。求定义域的主要依据1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.6、实际问题中函数的定义域例如11log(2)xxy一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的判断两个函数相等的方法：1、定义域是否相等（定义域不同的函数，不是相等的函数）2、对应法则是否一致（对应关系不同，两个函数也不同）例、下列函数中哪个与函数y=x相等xxyxyxyxy22332)4()3()2()1(1、已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)x2,(－1＜x＜2)2x,(x≥2)若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,,332D.3D函数的性质：单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)3.(定义法)证明函数单调性的步骤:设值判断差符号作差变形下结论简单函数的单调性1、一次函数y=kx+b2、二次函数y=ax^2+bx+c3、反比例函数y=k/x4、指数函数y=a^x5、对数函数y=logax6、幂函数y=x^a.,,.5增函数减函数增函数增函数增函数增函数在公共区间内.记住下列重要结论.)()(.1增减性相反与xfxf12.(),().()fxfxfx恒为正或恒为负时函数与增减性相反.)()(.3增减性相同与函数kxfxf.)()(,0,)()(,0.4增减性相反与时的增减性相同与当xkfxfkxkfxfk证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax2ax12ax2aoxy1xy1o练习已知函数y=|x2－x|，(1)作出函数的草图；(2)写出函数的单调区间。41)21(41)21(22xx1010xxx或xxxxy220022xxxxxyo121由图知：此函数的单调递增区间为),1[],21,0[单调递减区间为]1,21[],0,(.),()1(]2,2[)(的取值范围求上单调递增，若在已知mmfmfxf单调性的应用：.]4,(2)1(2)(2的取值范围求实数上是减函数，在已知axaxxf一、函数的奇偶性定义前提条件：定义域关于数“原点”对称。1、奇函数f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=02、偶函数f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0二、奇函数、偶函数的图象特点1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的定义域内有0，则f(0)=0.如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，又不是偶函数。奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致；偶函数则相反。利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系③作出相应结论：若f(-x)=f(x)则f(x)是偶函数若f(-x)=-f(x)则f(x)是奇函数.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，求当x＜0时，f(x)的解析式，并画出此函数f(x)的图象。xyo解：∵f(x)是奇函数∴f(－x)=－f(x)即f(x)=－f(－x)∵当x≥0时，f(x)=x2－2x∴当x＜0时，f(x)=－f(－x)=－[(－x)2－2(－x)]=－(x2+2x)xxxxy2222故00xx1)1(1)1(22xx00xx例题基本初等函数基本初等函数指数函数对数函数幂函数⑴ar·as=ar+s(a0,r,s∈Q)；⑵(ar)s=ars(a0,r,s∈Q)；⑶(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).(5)()(0,Z)nnnaabnbb指数幂的运算.__________,,3133221aaaaaa，则已知？ba，ba的值求已知2,210,50100222,10010,2105010,50100.22bababaa又解7181.对数的运算性质:logloglogaaaMNMN（）⑴logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果a0，a1，M0，N0有：log4loglogcacNNa5loglog1abba6loglogmnaanNNmmbamba求例：已知,211,53指数函数1、定义域.2、值域.R3、图象a10a1R+yxo1yxo1yax(a0,a1)对数函数yxaalog其中且a011、定义域.2、值域R3、图象a10a1R+yxoyxo11指数函数与对数函数函数y=ax(a＞0且a≠1)y=logax(a＞0且a≠1)图象a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1性质定义域定义域值域值域定点定点xy01xy011xyo1xyo在R上是增函数在R上是减函数在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数RR(0,)(0,)(1,0)(0,1)单调性相同指数函数与对数函数(1),(2),(3),(4),,,,1.xxxxyaybycydabcd如图是指数函数的图象则与的大小关系是（）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1.B(1)(2)(3)(4)OXy总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大指数函数与对数函数若图象C1，C2，C3，C4对应y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx,则（）A.0ab1cdB.0ba1dcC.0dc1baD.0cd1abxyC1C2C3C4o1D规律：在x轴上方图象自左向右底数越来越大！22log(21)log(5)xx2、解不等式1log42(0,a1)aaa、且求实数的取值范围？在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：Xy110y=x-1y=x-2a0（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，+∞)上是增函数。（1）图象都过（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，+∞）上是减函数。（3）在第一象限，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。Xy110y=x2y=x3y=x1/2a0yx三、幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.如果α0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数。α03.如果α0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;α10α12.当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点是一个点吗?第三章函数与方程）至少有一个根在（baxfbfaf,)(0)()(如果函数图像在给定区间内是一条连续不断的光滑曲线并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，若f(x)是单调函数()()0(),fafbfxab在（）有唯一一个根函数与方程？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点•如何判断函数零点的个数•如何判断零点所在的区间例：关于x的方程x2－(k+1)x+2k=0的两根异号，则实数k的取值范围是____________________解：令f(x)=x2－(k+1)x+2kxyo00:21xx由图可知0208)1(2kkk00162kkk0k(－∞,0)由图可知：f(0)＜00k023562356kkk或例：已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围．解:若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件．若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．∵f(０)＝－１≠０，∴方程f(x)＝０无零根．如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１．如方程有两个正实根，则:Δ＝m2＋４(m－１)≥０，m≥－２＋或m≤－２－，x1x2＝＞０，m＜１，x1＋x2＝－＞０，０＜m＜１．11m1mm2222∴－２≤m＜１．22由此得，实数m的范围是m≥－２.22实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解抽象概括推理演算