Duffing方程的matlab程序实现

非线性电路理论及应用报告Duffing方程的MATLAB程序与仿真实现1.Duffing方程混沌模型分析电力系统及其工程领域存在着大量铁磁电感器件，如铁芯互感器、铁芯变压器、铁芯电抗器等非线性电感元件。研究电路中的混沌行为及其混沌机理，对电力系统稳定性研究有着及其重要的意义。典型的Duffing方程有如下两种形式：232sindxdxxxfwtdtdt（1）232sindxdxxxfwtdtdt（2）1.1Duffing方程描述的一种并联LC铁磁混沌振荡电路Duffing方程是反映工程物理系统中非线性现象和混沌力学行为极为重要的方程式。本文采用第二种Duffing方程来描述下图1所示LC铁磁混沌振荡电路（电路由交流电压供电），图1并联LC铁磁混沌振荡电路图1中非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电路状态方程如下：cdudt（3）31()[]ccsduCabuutdtR（4）其中sinmsUwtut，令wt，dwdt，则电路状态方程改写为cuddw（5）31()[]ccsduabuudwCwCwCR（6）令x，cuyw，则电路方程变为dxyd（7）2223sin1()mUwCRdyabxxydwCRwCwC（8）再令21awC，21bwC，1kwCR，2mUwCRf，1wR，则上述方程改写为dxyd（10）3sin()dyxxkyfd（11）上述两式用一个二阶微分方程表示，可得232sindxdxxxkfwtdtdt（12）即为Duffing方程的第二种形式。为方便分析，增加一个时间维，将式（11）（12）改写为三阶自治方程，也称等价扭扩系统，其相应的自治系统方程为dxydt（13）3sin()dyxxkyfdt（14）1dzdt（15）其中zt常数1.1采用Melnikov方法求解第一种Duffing方程Melnikov方法的基本思想是将动力系统归结为平面上的一个Poincare映射是否存在横截同宿轨道或异宿轨道的数学条件,给出一类非线性动力系统Smale马蹄变换意义下出现混沌现象的判据。应用解析Melnikov方法的许多实际问题可以归结为讨论带有弱周期扰动项的具有同宿轨道或异宿轨道的二阶常微分方程。对于这类系统,利用一定的数学技巧,就可以建立二维Poincare映射,如果此映射存在Smale马蹄变换性质,则此映射可能是一个具有混沌属性的不变集。本小节采用Melnikov方法求解下方Duffing方程。考虑Duffing方程的周期扰动方程232cosdxdxkxxFwtdtdt（16）或表示为dxydt（17）3cosdyxxkyFwtdt（18）哈密顿方程的同宿轨方程为4222xyx（20）将dxydt带入上式，求解一阶微分方程可得同宿轨方程的参数方程为2sechxtt（21）2sechthyttt（22）所以000cosMtyttFwtkyttdt（23）式中，0002sechthyttttttt，由复变函数理论求得0042sechsin23wkMFwtwtt（24）综上，当042sechsin23wkFwtwt时，存在同宿点，表明阻尼k越小，激励F越强，系统容易激起混沌振荡。2.Duffing方程模型的MATLAB数值计算分析随着计算机技术的发展，求解微分方程的方法也越来越多。其中，数值计算方法是一种有效的求解微分方程算法，MATLAB软件以其强大的计算能力逐渐在求解微分方程中独占鳌头。。2.1MATLAB数值计算分析functionfty=Duffing(t,y)k=0.25;F=0.45;w=1;fty=[y(2);y(1)-y(1)^3+F*cos(w*y(3))-k*y(2);1];将x，y，t的初始值分别取为0，0，0，计算时间为200s，步长为0.01s，调用Duffing函数，并用ode45进行求解，画出Duffing方程x-y平面图、变量时域响应图，程序如下：tspan=0:1e-2:200;initial=[0,0,0];[t,y]=ode45(@Duffing,tspan,initial);figure(1);plot(y(:,1),y(:,2));figure(2);plot(tspan,y(:,2));figure(3);plot(tspan,y(:,1));由式（24）知，当0.25k，1w时，要存在同宿点，必须有F。下面给出F分别为0.1,0.3,0.45时的Duffing方程x-y平面图、变量时域响应图。由图1-6可验证得出，F时，没有同宿点出现，无混沌现象；F或F时，有同宿点，故系统出现混沌现象；与采用Melnikov方法求解Duffing方程的结果吻合。由图4-6可得出当参数变化时，系统特性发生变化，但各信号并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。（1）F时：图1F=0.1时Duffing方程x-y平面图图2F=0.1时Duffing方程变量时域响应图（2）F时00.20.40.60.811.21.4-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5xy02040608010012014016018020000.511.5tx020406080100120140160180200-0.500.5ty图3F=0.3时Duffing方程x-y平面图图4F=0.3时Duffing方程变量时域响应图（2）F时-1.5-1-0.500.511.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xy020406080100120140160180200-2-1012tx020406080100120140160180200-1-0.500.51ty图5F=0.45时Duffing方程x-y平面图图6F=0.45时Duffing方程变量时域响应图3.结论本文通过对Lorenz系统的平衡点及稳定性的分析，研究了参数变化对Lorenz奇怪吸引子的特性的影响，并使用MATLAB编程方法实现了Lorenz系统的混沌吸引子。通过结果，可以看到混沌吸引子在x-y，x-z，y-z平面的投影的形状是一样的。-2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5xy020406080100120140160180200-2-1012tx020406080100120140160180200-2-1012ty