二次函数的实际应用(利润最值问题及面积问题

深圳实验培训中心2009年暑期初二培训资料姓名月日1第3课时二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值．如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322xxy的最值．解：4)1(2xy当1x时，y有最小值4，无最大值．（2）求函数322xxy的最值．)30(x解：4)1(2xy∵30x，对称轴为1x∴当12330有最大值时；当有最小值时yxyx．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润则：)10300)(4060(1xxy)60010(102xx6250)5(102x当5x，即：定价为65元时，6250maxy（元）月日2)20300)(4060(2xxy)15)(20(20xx6125)5.2(202x当5.2x，即：定价为57.5元时，6125maxy（元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x元，利润为y元，则：)20400)(2030(xxy)20)(10(20xx4500)5(202x当5x，4500maxy（元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x人)30(x，营业额为y元，则：)]30(10800[xxy)110(10xx30250)55(102x当55x，30250maxy（元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为bkxy．则1525,220kbkb解得401bk，即一次函数表达式为40xy．⑵设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元yxw)10()40)(10(xxx（元）152030…y（件）252010…深圳实验培训中心2009年暑期初二培训资料姓名月日3400502xx225)25(2x当25x，225maxy（元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(30x）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y与x的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案)．解：⑴设y=kx+b由图象可知，3040020,:402001000kbkkbb解之得，即一次函数表达式为100020xy)5030(x．⑵yxP)20()100020)(20(xx200001400202xx∵020a∴P有最大值．当35)20(21400x时，4500maxP（元）（或通过配方，4500)35(202xP，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802x16)35(12x∴31≤x≤34或36≤x≤39．月日4作业布置：1．二次函数1212xxy，当x=_-1，_时，y有最_小_值，这个值是23．2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12xy(只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是29m，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22mxy∵0)23(22x，要使0y，只有029m∴29m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是4.5米．解：当05.3y时，213.55yx05.345.052x，5.1x或5.1x（不合题意，舍去）5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-12gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m．解：tts10525)1(52t当1t时，5maxs，所以，最高点距离地面725(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x元，利润为y元，则：)20)(70100(xxy600102xx625)5((2x深圳实验培训中心2009年暑期初二培训资料姓名月日5当5x，625maxy（元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m)．xyABO解：设9)8(2xay，将点A)1,0(代入，得81a12819)8(8122xxxy令0y，得09)8(812xy98)8(2x268x，)0,268(C，∴5.242688OC(米)9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）…25242322…销售量y（千克）…2000250030003500…（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？解：（1）由图象可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500kbkkbb解得，∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500)月日6)37744144142(500)37742(500)29)(13(50022xxxxxx=-500(x-21)2+32000∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.(3)设总利润为W元则：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x=－10(x2－50x)=－10(x－25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元)．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?解：)802)(20()20(xxwxy)