一元二次方程根与系数的关系典型例题

一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一.本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系［学习目标］1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2.灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3.在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4.提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5.体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。二.重点、难点：1.教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2.教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】例1.已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：解得：（方法二）由题意：解得：根据韦达定理设另一根为x，则点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。例2.已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。解：由已知，根据韦达定理（1）（2）（3）点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。例3.已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。解：由题意，为的两个不等实根因而有又点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。例4.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：由当时，代入当时，由代入则代入把代入2中，或（解法二）将与相减得：此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或（1）若是0则；（2）若是，则；或点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。例5.已知方程（1）若方程两根之差为5，求k。（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：又（2）设方程两根，由根系关系知：点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例6.已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。解：设已知方程的两根为m，3m由韦达定理知：即把代入得：点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例7.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。（1）用含m的代数式表示；（2）当时，求m的值。分析：应注意，即可用根系关系。解：（1）由题意：（2）由（1）得：解得：检验：当时，原方程无实根。∴舍去当时，原方程有实根。∴点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例8.已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。解：设所求一元二次方程为为方程的两根∴由韦达定理又∴所求一元二次方程为即：点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。［总结扩展］1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3.本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……4.通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题。1.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）A.2，-1B.-1，2C.-2，1D.1，-22.已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）A.4B.-4C.1D.-13.若方程有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是（）A.B.C.D.4.若方程的两根中，只有一个是0，那么（）A.B.C.D.不能确定5.方程的大根与小根之差等于（）A.B.C.1D.6.以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）A.B.C.D.二.填空题。7.关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。8.已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。9.已知方程的两根，且，则________。10.已知是方程的两根，不解方程可得：________，________，________。11.已知，则以为根的一元二次方程是______________________________。三.解答题。12.已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。13.已知方程的两根不解方程，求和的值。14.已知方程的两根，求作以为两根的方程。15.设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。【试题答案】一.选择题。1.A2.B3.D4.B5.C6.B二.填空题。7.8.设，则9.或时，原方程△＜0，故舍去，10.11.由此或或所求方程或三.解答题。12.解：设方程的一个根为x，另一根2x由根系关系知：解得：13.解：由题设条件14.解：由题意即故所求方程是，即15.解：由由不符合题意，舍去【励志故事】果断有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人—王安博士。