方程的根与函数的零点公开课

引例:解方程比赛，看谁能最快解出来2230xx2230xx2210xx兴趣导入：写成相应的函数图像有什么特点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3相应函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543y=x2－2x+1y=x2－2x+3思考:以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？函数图像与x轴的交点.....yx0－12112思考：上述结论推广至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与相应的二次函数y=ax2+bx+c是否成立？知识探究（一）：方程的根与函数的零点判别式000y=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0的根函数的图象与x轴的交点xyx1x20两个不相等的实数根x1、x2(x1,0),(x2,0)xy0x1有两个相等的实数根x1=x2(x1,0)xy0没有实数根没有交点一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有如下关系：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数零点是一个点吗?函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点.等价关系求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点例1：求下列函数的零点:1log)(442)(334)(21)(122xxfxfxxxfxxfx练习1.求下列函数的零点：（1）;（2）.练习2.已知函数的定义域为R的奇函数，且在有一个零点，则的零点个数为_____y21xxlog2y3()fx()fx(0,)()fx探究：如何求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。即兴练习11.f(-2)=，f(1)=f(-2)f(1)0(填“”或“”)发现在区间(-2，1)上有零点2.f(2)=，f(4)=f(2)f(4)0(填“”或“”)发现在区间(2，4)上有零点观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象5-4-13-35－2xy0－132112－1－2－3－44问题探究观察函数的图象①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．知识探究（二）：函数零点存在性原理有有无零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根．作用：判断函数在给定区间内是否有零点.（1）f(a)·f(b)0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)0。（3）f(a)·f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。函数零点存在定理的三个注意点：1函数是连续的。2定理不可逆。3至少存在一个零点。定理理解：判断正误2-2-4-6-8-15-10-5x1gx=x2-2x+1ababab000yxxyyx错错错零点的存在的规律0)()(bfaf)(xf在有ba,零点)(xf在ba,上连续)(xf在ba,上单调唯一例2.已知函数的图像是连续不断的，有如下表所对应值：那么函数在区间上的零点至少有_____个。X1234567f(x)239-711-5-12-261,7()fx()fx3由上表可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，且f(x)在(0,+∞)单调递增说明这个函数在区间(2,3)内有零点。又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：分别列出部分x、f(x)的对应值表如下：例3求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。x12345()fxln22ln3ln42ln544x0－2－4－6105y241086121487643219表3--1x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表（表3--1）和图像。例3：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。几何法练习1:下列函数在区间（1，2）上一定有零点的是()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x³-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)DB巩固知识，当堂练习2对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数X叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点函数y=f(x)有零点函数的零点定义：等价关系小结函数零点存在性定理如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。作业布置：课后作业：p92A组第2题