2000-2011考研数学一真题

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1/1462000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2（B）3（C）4（D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2/146（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（D）（4）已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosαcosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgαtgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosαcosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgαtgβ（５）函数y=-xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。全月应纳税所得额税率2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题3/146不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若ab1，，则（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ（8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题4/146（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题5/1462000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、第三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）（14）椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________________。（15）设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3…），则它的通项公式是=_________。（16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是__________________。2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题6/146（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共16小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知函数（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题7/146（18）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且（I）证明：；（II）假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角αBDβ的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使？请给出证明。2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题8/146（19）（本小题满分12分）设函数，其中a0。（I）解不等式f(x)≤1；（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调函数。2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题9/146（20）（本小题满分12分）（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题10/146（21）（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题11/146（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题12/1462001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题13/1462001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、设baxbxaeyx,)(cossin(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.2、222zyxr，则div（gradr）)2,2,1(=_____________.3、交换二次积分的积分次序：0112),(ydxyxfdy＝_____________.4、设OEAA42，则1)2(EA=_____________.5、D（X）=2，则根据车贝晓夫不等式有估计}2)({XEXP_____________.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图形如右图所示：则)(xfy的图形为()2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题14/1462、设),(yxf在点（0，0）的附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(yxff则()(A)dz|（0，0）=3dx+dy；(B)曲面),(yxfz在（0，0，)0,0(f）处的法向量为{3，1，1}；(C)曲线0),(yyxfz在（0，0，)0,0(f）处的切向量为{1，0，3}(D)曲线0),(yyxfz在（0，0，)0,0(f）处的切向量为{3，0，1}3、设0)0(f则)(xf在x=0处可导()(A)20cosh)1(limhfh存在；(B)hefhh)1(lim0存在；(C)20sinh)(limhhfh存在；(D)hhfhfh)()2(lim0存在．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题15/1464、设0000000000000004,1111111111111111BA，则A与B()(A)合同且相似；(B)合同但不相似；(C)不合同但相似；(D)不合同且不相似．5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y相关系数为：()(A)-1；(B)0；(C)1/2；(D)1．三、（本题满分6分）求dxeexx2arctan．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题16/146四、（本题满分6分）设函数),(yxfz在点（1，1）可微，且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(yxfff，)),(,()(xxfxfx，求13)(xxdxd．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题17/146五、（本题满分8分）设)(xf=001arctan21xxxxx将)(xf展开成x的幂级数，并求1241)1(nnn的和．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题18/146六、（本题满分7分）计算dzyxdyxzdxzyIL)3()2()(222222，其中L是平面2zyx与柱面1yx的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题19/146七、（本题满分7分）设)(xf在（-1，1）内具有二阶连续导数且0)(xf证明：１．对于)1,0()0,1(x，存在惟一的)1,0()(x，使)(xf=)0(f+))((xxfx成立；２．5.0)(lim0xx．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题20/146八、（本题满分8分）设有一高度为tth)((为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题21/146九、（本题满分6分）设s,,,21为线性方程组AX=O的一个基础解系，1213221222111,,,ttttttss，其中21,tt为实常数试问21,tt满足什么条件时s,,,21也为AX=O的一个基础解系2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题22/146十、（本题满分8分）已知三阶矩阵A和三维向量x，使得xAAxx2,,线性无关，且满足xAAxxA2323记P=（xAAxx2,,），求B使1PBPA；计算行列式EA2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题23/146十一、（本题满分7分）设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（０＜p＜１），且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求：在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量（X，Y）的概率分布．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题24/146十二、（本题满分7分）设X~N（2,），抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n（n≥2），样本均值niiXnX2121，niiniXXXY12)2(求E（Y）．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题25/1462002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)（1）exxdx2ln=_____________.（2）已知0162xxyey，则(0)y=_____________.（3）02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是_______