2019年考研数学三真题答案解析

1/132019考研数学三真题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.【答案】C.【答案解析】3tan3xxx,若要tanxx与kx同阶无穷小，3k.故选C.对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则.2.已知方程550xxk有3个不同的实根，则k的取值范围A.,4B.4,C.4,4D.4,4【答案】D.【答案解析】因为5()5,fxxxk所以4()55fxx，令()0fx，解得1x.当(1,1)x时，()0,fx()fx单调递减；当(,1)(1,)x时()0fx，()fx单调递增。极大值(1)154fkk，极小值(1)154fkk，lim();lim()xxfxfx若要550xxk有3个不同的实根，需要(1)0(1)0ff，即4040kk，∴44k，即k的取值范围为4,4，选择D.3.已知微分方程xyaybyce的通解为12eexxyCCx，则abc、、依次为A.1，0，1B.1，0，22/13C.2，1，3D.2，1，4【答案】D.【答案解析】由题意可知通解为12()eexxyCCx因为e,e0xxxyayby为的两个解.即1为重根.22010402,1,abababab所以yex为exyaybyc的特解：2exyyyc将exy代入e2eee4xxxxcc2,1,4abc，故选D.4.若1nnnu绝对收敛，1nnvn条件收敛，则A.1nnnuv条件收敛B.1nnnuv绝对收敛C.1nnnuv收敛D.1nnnuv发散【答案】B.【答案解析】【方法一】由1nnvn条件收敛可知，nvn有界.不妨设nvMn=nnnnnnnvuvuMun，1nnnu绝对收敛，根据比较审敛法，故B绝对收敛.【方法二】31,1nnnuvn，则A、C错，311,lnnnnuvnn,则D错，因此选B.5.设A是四阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则A的秩是A.0B.1C.2D.3【答案】A.【答案解析】由于0Ax的基础解系中只有2个向量，故224)(Ar，由3/131)(,01)(,1)(,)(*nArnArnArnAr可知0)(*Ar.6.设A是3阶单位矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE且4A，则二次型TXAX的规范形为A.222123yyyB.222123yyyC.222123yyyD.222123yyy【答案】C【答案解析】由EAA22可知，矩阵的特征值满足;1,222的两个特征值为，所以A又知道行列式等于所有特征值的乘积，故矩阵的第三个特征值为-2，所以二次型的正负惯性指数分别为1，2.故选C.7.设,AB为随机事件，则()()PAPB充分必要条件是A.()()()PABPAPB.B.()()()PABPAPB.C.()()PABPBA.D.()()PABPAB.【答案】C【答案解析】)()()()()()()()(BPAPABPBPABPABPAPBAPA选项是互斥或者叫互不相容。B选项是独立。D选项推不出来关系。4/138.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N，则1PXYA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与，2都有关.D.与，2都无关.【答案】A【答案解析】222()0,()+2(,)2EXYDXYDXDYCovXY，因此1)21(2212)1,0(~2YXPNYX，所以因为，故选A.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.9.111lim1223(1)nnnn.________【答案】e1【答案解析】11lim12(1)nnnn111111ln(1...)ln(1)2231111limelimelimeennnnnnnnnn10.曲线3sin2cos22yxxxx的拐点坐标为.________【答案】)2,(【答案解析】3sin2cos22yxxxxsincos2sincossinyxxxxxxx令()cossincossin0yxxxxxxx，得xx,0；0x时，()0yx；0x时，()0yx,故x=0不为拐点.0x时，()0yx；32x时，()0yx，故拐点为,2.5/1311.已知41()1dxfxtt，则120()dxfxx【答案】)221(181【答案解析】1201240114301134134010144034120()d1dd11dd311d|1d3111d(1)341211(1)|(221)(122)1231818xxxxfxxxttxttxxttxxxxxx本题也可使用二重积分交换积分次序求解。12.A、B两商品的价格分别为PA、PB，需求函数225002AAABBQPPPP，20,10BAPP，求A商品对自身价格的需求弹性Ah=.________0【答案】0.4【答案解析】22222500)2()2(2500BBAABAABABBAAAAAAAAPPPPPPPPPPPPPPPQQPh故10,20ABPP时，4.08002001005004010Ah13.21010111,1,011AbAXbaa有无穷多解，则a=.________【答案】1a【答案解析】6/132221010()111101110101010010101010110011Abaaaaaa当a=1时，Ax=b有无穷多解.14.X为连续型随机变量，概率密度为,02().20,其他xxfxF(x)为X的分布函数，EX为X的期望，则()1PFXEX.________【答案】32【答案解析】X的概率密度为,02()20,其他xxfx32222100222322231184dd|22236300()0241212{()1}{()}{2}{2}3322d23243xxEXxxxxxxFxxxPFXEXPFXPXPXxPXxx三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知2,0()e1,0xxxxfxxx求()fx，并求()fx的极值.【答案解析】当0x时，22ln2ln22ln2=2ln2xxxxxxfxxeexxx.()()23rArAb7/13当0x时，e1ee1exxxxfxxxx.当=0x时，01f，22ln000112ln0limlimlimxxxxxxxexxfxxx，00110limlim1xxxxxefex.故22ln20=1e0xxxxxfxxx.有()fx在0x点不可导.于是2lne(2ln2)0(),0e+e,0xxxxxxfxxxx，不存在令=0fx，得112,1xex.于是有下列表x(,1)-1（-1，0）010,e1e1,e()fx-0+不存在-0+()fx极小值极大值极小值当10,,0,xefxfx单调递减，当1,0,xefxfx，+单调递增，故211=efee为极小值.当0,0,xfxfx-1，单调递增，当10,,0,xefxfx单调递减，故0=1f为极大值.当,1,0,xfxfx单调递减，当0,0,xfxfx-1，单调递增，故11=1fe为极小值.16.已知(,)fuv具有2阶连续偏导数，且(,)(,)gxyxyfxyxy求22222gggxxyy8/13【答案解析】(,)(,)gxyxyfxyxy''22''222(,)(,)1uvuuuvvuvvuvuuvvvuvvuuuvvuvvgyfxyxyfxyxyxgffffxgxffygffffyxgffffxy所以：22212uuuuvvuuggxgffffxxyy13uuvvff17.已知()yx满足微分方程221'e2xyxyx满足(0)ey（1）求()yx；（2）,12,0()Dxyxyyx求平面区域D绕x轴旋转成的旋转本体积【答案解析】（1）由一阶非齐次微分方程的通解公式可知：2222222dd222221eeed21eeed21ed2exxxxxxxxxxyxCxxCxxCxxC通解由(1)=e(1)efC得0C，所以22()=exfxx（2）由旋转体体积公式可知：9/1322222221221222411ededede=e-e222xxxxxVxxxxx18.求曲线)0(sinxxeyx与x轴之间图形的面积.【答案解析】)1(211211121][21][21sinsinsin)12(0)22()12(020)22()12(0)12(20eeeeeeeeexdxexdxedxxeSnnnnnnnnnxnnnxx19.设1201(0,1,2,).nnaxxdxn…（1）证明{an}单调减少，且21(2,3,);2nnnaann…（2）求1lim.nnnaa【答案解析】(1)令sinxt，dtttadtttannnn22011220cossin,cossin0cos)sin(sin22011dttttaannnn，故数列na单调减少.dttnadttnadttdttdtttannnnnnnn202-20220220220sin11sin11sinsincossin，得且由分部积分法可计算所以nnnaanan)1()1(2221nnanna（2）由于数列单调递减，所以12112nnnnaaaann，由夹逼定理可知1limnnnaa=1