高中数学基础知识汇总

新课标高中数学基础知识归纳第1页第一部分集合3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；（2）;BBAABABA注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式2222babaab；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa、xsin、xcos等）；4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．；⑵)(xf是奇函数f(－x)=－f(x)；)(xf是偶函数f(－x)=f(x)⑶奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；②)(xf在区间M上是减函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；⑵单调性的判定①定义法：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期①2:sinTxy；②2:cosTxy；③Txy:tan；④||2:)cos(),sin(TxAyxAy；⑤||:tanTxy；(3)与周期有关的结论新课标高中数学基础知识归纳第2页)()(axfaxf或)0)(()2(axfaxf)(xf的周期为a2；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数：xy（)R；⑵指数函数：)1,0(aaayx；⑶对数函数:)1,0(logaaxya；⑷正弦函数:xysin；⑸余弦函数：xycos；（6）正切函数：xytan；⑺一元二次函数：02cbxax；⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(kkxy；②反比例函数：)0(kxky；③函数)0(axaxy；9．二次函数：⑴解析式：①一般式：cbxaxxf2)(；②顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；③零点式：))(()(21xxxxaxf。⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，。10．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ))()(axfyxfy，)0(a———左“+”右“－”；ⅱ))0(,)()(kkxfyxfy———上“+”下“－”；②对称变换：ⅰ)(xfy)0,0()(xfy；ⅱ)(xfy0y)(xfy；ⅲ)(xfy0x)(xfy；ⅳ)(xfyxy()xfy；③翻转变换：ⅰ)|)(|)(xfyxfy———右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(xfyxfy———上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心（对新课标高中数学基础知识归纳第3页称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然；注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,－y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=2ba对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为),(yx,设rOP||则：,cos,sinrxryxytan3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；5．⑴)sin(xAy对称轴：2xk；对称中心：))(0,(Zkk；⑵)cos(xAy对称轴：xk；对称中心：))(0,2(Zkk；6．同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin22；7．三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，tgxy的递增区间是22kk，)(Zk，ctgxy的递减区间是kk，)(Zk。8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sincoscossin)sin(新课标高中数学基础知识归纳第4页②;sinsincoscos)cos(③tantan1tantan)tan(。9．二倍角公式：①cossin22sin；②2222sin211cos2sincos2cos；③2tan1tan22tan。2(sincos)12sincos1sin211。几个公式:⑴三角形面积公式：11sin22ABCSahabC；第四部分立体几何1．三视图与直观图：2．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=rh2；③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=31S底h：⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=lrr)(';③体积：V=31（S+''SSS）h；⑷球体：①表面积：S=24R；②体积：V=334R。3．位置关系的证明（主要方法）：⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:cos|cos,|ab⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:sin|cos,|ABn5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）点到平面的距离：①等体积法；②向量法：||||nnABd。6．结论：⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为222abc，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。⑵正方体的棱长为a，则对角线长为3a，全面积为6a2，体积V=a3。⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：新课标高中数学基础知识归纳第5页①高：ah36；②对棱间距离：a22；③内切球半径：a126；④外接球半径：a46。第五部分直线与圆1．直线方程⑴点斜式：)(xxkyy；⑵斜截式：bkxy；⑶截距式：1byax；⑷两点式：121121xxxxyyyy；⑸一般式：0CByAx，（A，B不全为0）。3．两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注222111::bxkylbxkyl2121,bbkk121kk21,ll有斜率已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。4．几个公式⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（3,3321321yyyxxx）；⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200BACByAxd；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2221BACCd；5．圆的方程：⑴标准方程：①222)()(rbyax；②222ryx。⑵一般方程：022FEyDxyx（)0422FED注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF0；6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）①Rd点在圆上；②Rd点在圆内；③Rd点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）①Rd相切；②Rd相交；③Rd相离。⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR）①rRd相离；②rRd外切；③rRdrR相交；④rRd内切；⑤rRd0内含。8、直线与圆相交所得弦长22||2ABrd第七部分平面向量⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a∥b(b≠0)a=b（)Rx1y2－x2y1=0；新课标高中数学基础知识归纳第6页②a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0⑵a·b=|a||b|cosa,b=x2+y1y2；注：①|a|cosa,b叫做a在b方向上的投影；|b|cosa,b叫做b在a方向上的投影；①a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cosa,b的乘积。⑶cosa,b=||||baba；⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线xy1OPxOAyOB且；（理科）P，A，B，C四点共面,xyz1OPxOAyOBzOC且。第十一部分概率1．事件的关系：⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作BA；⑵事件A与事件B相等：若ABBA,，则事件A与B相等，记作A=B；⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作BA（或