结构力学李廉锟版-结构位移计算

第一节概述第二节变形体系的虚功原理第三节位移计算的一般公式单位荷载法第四节静定结构在荷载作用下的位移计算第五节图乘法第六节静定结构温度变化时的位移计算第七节静定结构支座移动时的位移计算第八节线弹性结构的互等定理第六章结构位移计算一、结构的位移(DisplacementofStructures)1.结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。思考：变形与位移的差别？变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。第一节概述AAA位移转角位移线位移AAxAyA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角PAxAy2.位移的分类第一节概述ABDCCDVC'D'DVCV截面C、D的相对竖向线位移为:VVVDCCDDCCDΔ截面C、D的相对角位移为:ABCDD'C'CD第一节概述AAAPAxAy引起结构位移的原因t制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?3.位移产生的原因第一节概述铁路工程技术规范规定:二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。第一节概述(2)超静定结构、动力和稳定计算的基础(3）施工要求超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。第一节概述（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),第一节概述本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。2.功能法虚功原理应变能(卡氏定理)〈研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。1.几何法四、计算方法第一节概述一、基本概念0''dΔFWl''AOFFF'BdF实功：力在其本身引起的位移上所作的功。位移Δ是由外力F引起的，F做的功可表示为:1.外力的实功第二节变形体系的虚功原理实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应用叠加原理。kFFΔkΔΔkΔW22121220''d所以设线弹性材料的弹性系数为k，则'kΔF'l''AOFFF'BdF第二节变形体系的虚功原理2.外力的虚功虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。tFΔWδ虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力与位移两者相互独立，计算外力虚功可应用叠加原理。lFOtFABFtt第二节变形体系的虚功原理力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为121δΔFW例F1力在其引起的位移Δ11上作的功为实功为11121ΔFWF1121211FF121121221212第二节变形体系的虚功原理——结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。3.广义位移和广义力广义位移——与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。广义力第二节变形体系的虚功原理4.内力功定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。该微段上相应的变形为轴向变形sdd剪力变形sdd弯曲变形skdd1FNFNsdλsd+dddγηsSFSddθsMM第二节变形体系的虚功原理若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为ddddSNiMFFw对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：dddSNiMFFWsss原因而定。,和的具体表达式要视引起这个变形的具体ddd内力虚功第二节变形体系的虚功原理回顾（1）质点系的虚功原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mΣfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即第二节变形体系的虚功原理（2）刚体系的虚功原理去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPAxFBFAyFΔPΔB-FPΔP+FBΔB=0第二节变形体系的虚功原理二、虚功原理1.变形体的虚功原理设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，ieδδWW——这就是虚功方程。（证明略）需注意：⑴外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；第二节变形体系的虚功原理⑵位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件的非常微小的连续位移；⑶外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位移状态的变形上做功之和(内力虚功)。⑷对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。第二节变形体系的虚功原理解释：两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件,力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；第二节变形体系的虚功原理2.杆系结构虚功方程以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。希望能很好理解，尽可能达到掌握！dddSNiMFFWssseiWW第二节变形体系的虚功原理虚位移原理令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。虚力原理令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称为余虚功原理)。一个力系平衡的充分必要条件是：对任意协调位移，虚功方程成立。一个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立。3.虚功原理的两种应用第二节变形体系的虚功原理注意:虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。ABCDEδδDEBδCδFCACDEFBF0EBCCFδδFδF0)43()21(CCCCδFδFδF即FFC45故撤除与FC相应的约束,将FC变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚位移。列出虚功方程：第二节变形体系的虚功原理注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，可用于求解几何问题。例：当A支座向上移动一个已知位移c1，求点B产生的竖向位移⊿。ACBc1A'△ba在拟求线位移的方向加单位力由平衡条件abFyAACBFyA1令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程011yAFcΔ)()(111cababcFcΔyA求得与单位力方向相同。第二节变形体系的虚功原理单位荷载法(Dummy-UnitLoadMethod)是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-MohrMethod。图示结构，要求KK=?实际状态位移状态虚拟状态力状态第三节位移计算的一般公式单位荷载法112233KKWFRCRCRC外NsWFduMdFrds内KNsΔFduMdFrdsRC＝－用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位荷载法。外力虚功:内力虚功:由虚功方程：此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明在上做正功，这表明的实际方向与方向相同。若结果为负，说明在上做负功，这表明的实际方向与方向相反。K1KF1KFK第三节位移计算的一般公式单位荷载法几点说明：(1)所建立的虚功方程，实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点:是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程总的来讲：第三节位移计算的一般公式单位荷载法2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。一般公式的普遍性表现在：第三节位移计算的一般公式单位荷载法BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力A?A(a)F=1F=1F=1第三节位移计算的一般公式单位荷载法F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=1第三节位移计算的一般公式单位荷载法ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd外第三节位移计算的一般公式单位荷载法AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=1第三节位移计算的一般公式单位荷载法由虚功原理有：W=WiNdddissssWFuMFscFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力虚功变形虚功荷载作用引起的位移计算KPΔ等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状态的变形上做的内力虚功之和。第四节静定结构在荷载作用下的位移计算对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为NPSPPNSKP000dddlllFFMΔFxFxMxEAGAEI——单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。MFF、、SN——实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式。PSPNPMFF、、E、G——材料的弹性模量和剪力弹性模量.A、I——杆件的横截面面积和横截面惯性矩.——剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面μ=1.2。μ第四节静定结构在荷载作用下的位移计算（1）梁、刚架：只考虑弯矩Mp引起的位移。（2）桁架：只有轴力。桁架各杆均为等截面直杆则xEIMMΔdPxEAFFΔdNPNEAlFFΔNPN第四节静定结构在荷载作用下的位移计算公式简化：拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。(4)跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力的影响不计，位移计算公式为sEIMMsEAFFΔssddPNPN第四节静定结构在荷载作用下的位移计算（3）组合结构EAlFFsEIMMΔNPNPd1例6-1图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移△BV，水平位移△BU,和位移△B。q