线性代数第二章向量组的线性相关性

第二章向量组的线性相关性主要内容§1向量的线性关系§2向量组的线性相关性§3向量组的最大无关组与秩§4线性方程组的解的结构§5欧氏空间§1向量的线性关系一、向量及其线性运算定义：n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组称为n维向量，记为前者称为行向量，后者称为列向量，这n个数称为向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量，n称为向量的维数。分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．1212,,,或nnaaaaaa注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．本书中，列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT表示．向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等、加减法、数乘等概念完全与矩阵相同.12100010,,,000001n基本单位向量：在n维向量中，称为基本单位向量。二、向量空间1.运算的封闭定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集Q实数集R2.运算的性质n维向量集合Rn关于向量的线性运算具有下列8项运算性质：(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+θ=a(4)a+(-a)=θ(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a其中a,b,g都是n维向量,k,l为实数.3.向量空间的定义定义：设V是n维向量的集合，如果①集合V非空，②集合V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，具体地说，就是：若a∈V，b∈V，则a+b∈V．（对加法封闭）若a∈V，l∈R，则la∈V．（对数乘封闭）那么就称集合V为向量空间．例：下列哪些向量组构成向量空间？1.n维向量的全体Rn2.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}3.集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：集合Rn，V1是向量空间，集合V2不是向量空间．例：设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一个向量空间吗？解：设x1,x2∈L，k∈R，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b)=(l1+l2a+(m1+m2b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1a+(km1b∈L所以，L是一个向量空间．定义：把集合L={la+mb|l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间，记为L(a,b).一般地，把集合L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1,a2,...,am所生成的向量空间,记为L(A)或者L(a1,a2,...,am).三、向量的线性表示定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．当R(A)n时，齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa1234,,,aaaa123TTTbbb结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组1.单个向量的线性表示定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．显然，上述线性组合可以写成分块矩阵乘法形式：1212,,,mmkkaaak定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。结论：零向量可由任何非空向量组线性表示。向量组中的每一个向量都可以由向量组本身线性表示。任何一个向量都可以由基本单位向量线性表示。例：设123100,,010001Eeee100203170001123237eee237b那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合对于任意的n维向量b，必有1231000010000100001nbbbb123nbbbbb回顾：线性方程组的表达式1.一般形式3.向量方程的形式2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx---34151121---12334151121xxx---12334151121xxx---方程组有解？向量是否能用线性表示？341,,112--51-结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．1111211221222211221212,,,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxxaxaxaaaaxaaax1122mmbaaalll11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaalll()(,)RARAb向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解例将向量b用向量组A=(a1,a2,a3)线性表示，其中：123123111111210(1),,,.2143230121121114(2),,,.4624367912(3),34aaabaaabaa-----23222113,,.254541ab----解(1)向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．1111103212100121(,)~2143000023010000rAb---因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示．由行最简形矩阵可得方程组的通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3．（表示式不唯一）3221cxcc--2112100411140103(,)~4624001336790000rAb----可得方程组的解为所以b=4a1+3a2－3a3．（表示式唯一）433x-(2)由1222122221130173(,)~3254001445410001rAb-----可得R(A)=3≠R(A,b)=4，故方程组无解。所以b不能由向量组A=(a1,a2,a3)线性表示．(3)由定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．2.向量组的等价设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbkakakabkakakabkakaka1112221122121212,,,,,,mmmmllmlllkkkkkkbbbaaakkk线性表示的系数矩阵若Cm×n=Am×lBl×n，即则1112121222121212,,,,,,nnnllllnbbbbbbcccaaabbb结论：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb若Cm×n=Am×lBl×n，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb则1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb结论：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．口诀：左行右列定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.结论：若C=AB，那么矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A在左边）矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B在右边）~cABA经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1P2…,Pl=B存在m阶可逆矩阵P，使得AP=B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价~rAB矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把P看成是线性表示的系数矩阵向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)（P.114向量组等秩扩充定理）R(B)≤R(A)（P.112向量组秩的比较定理）推论：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．（P.114向量组等秩扩充定理）证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)向量组等价的性质：设A,B,C为同维向量组，则(1)反身性：任何向量组都与其自身等价。(2)对称性：若A与B等价，则B与A等价。(3)传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。3.生成空间的结论设向量组A:a1,a2,...,am和向量组B:b1,b2,...,bs等价，记L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，则L1=L2．结论：等价的向量组所生成的空间相等．小结()(,)RARAb向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解()(,)RARAB向量组B能由向量组A线性表示矩阵方程组AX=B有解()()RBRA()()(,)RARBRAB向量组A与向量组B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组