2018年全国2卷理科数学试卷及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试全国2卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。1．1212ii（）A．4355iB．4355iC．3455iD．3455i2．已知集合223AxyxyxyZZ，≤，，，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．函数2xxeefxx的图象大致是（）4．已知向量ab，满足，1a，1ab，则2aab（）A．4B．3C．2D．05．双曲线2222100xyabab＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（）A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx6．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则AB=（）A．42B．30C．29D．257．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．1189．在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A．15B．56C．55D．2210．若cossinfxxx在aa，是减函数，则a的最大值是（）A．4B．2C．43D．11．已知fx是定义域为，的奇函数，满足11fxfx．若12f，则12350ffff（）A．50B．0C．2D．5012．已知1F，2F是椭圆2222:10xyCabab＞＞的左、右焦点交点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线2ln1yx在点00，处的切线方程为__________．14．若xy，满足约束条件25023050xyxyx≥≥≤，则zxy的最大值为_________．15．已知sincos1，cossin0，则sin__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45．若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a，153S．（1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t的值依次为127，，，）建立模型①：30.413.5yt：根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为127，，，）建立模型②：9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）设抛物线2:4Cyx的焦点为F，过F且斜率为0kk＞的直线l与C交于AB，两点。8AB．（1）求l的方程；（2）求过点AB，且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）已知函数2xfxeax．（1）若1a，证明：当0x≥时，1fx≥；（2）若fx在0，只有一个零点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy（为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxlayla（l为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为12，，求l的斜率．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）设函数52fxxax．（1）当1a时，求不等式0fx≥的解集；（2）若1fx≤，求a的取值范围．参考答案部分一、选择题123456789101112DABBAABCCACD12.解：41,236322ecaccPF，二、填空题13.xy214.915.21-16.24016.设母线长为a,aaa22OA8055ASBsin21S22ABS，所以2402221S2aCa侧三、填空题17.解：（1）由153S可得：15331da，所以2d，所以92nan（2）16-S4,82)(n21取最小值时，当nnnnaaSnn18.解：（1）①1.22619*5.134.30y^，5.2569*5.1799y^（2）对于模型①，当年份为2016年时，1.19917*5.134.30y^对于模型②，当年份为2016年时，5.2217*5.1799y^比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择②19.解：(1)∵F（1,0），设直线)1(xky，联立0)42()1(422222kxkxkxkyxy142212221xxkkxx，∵82AB21xx，∴k=1,所以直线方程01yx（2）设AB的中点为N（NNyx,），设圆心为M（a,b），所以圆的半径r=a+1因为22322121yyyxxxNN，所以MN的方程为2)3(1xy，即05yx所以22222-b3-aMN）（）（）（ax，由垂径定理：2222ABMNr即：2232161）（aa解得：113aa或所以圆的方程为：16)2()3(22yx和144)6()11(22yx20.证明：连接BO，因为AB=BC，则BO⊥AC，所以BO=2又因为在△PAC中，PA=PC=4，所以PO⊥AC，且32PO，因为222PBOBPO，所以PO⊥BO，从而PO平面ABC；（2）以OB为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，设BCBM，B（2,0,0），C（0,2,0）A（0，-2,0）P（0,0,32），设M（x,y,0）,所以)0,2,2(,0,,2BMBCyx）（，所以）（0,2,2-2M设平面PAC的法向量为)0,0,1(1n，设平面MPA的法向量为),,(1112zyxn，），（），，，（0,2-2-2-2MA32-2-0PA所以331330MA0PA22222zyxnn因为二面角MPAC为30，所以2330cos21210nnnn得31设PC与平面PAM所成角为，所以43PCPCsin22nn21解：（1）当a=1,2)(,2)(,)('''2xxxexfxexfxexf当单调递增单调递减，)(,2ln)(,2ln''xfxxfx，所以02ln22)2(ln)(''fxf所以是单调递增在),0[)(xf，所以1)0()(fxf（3）令00)(2axexfx，令axexgx2)(，32)(xxexgx）（‘当单调递减时，)(,0)(2'xgxgx，单调递增时，)(,0)(2'xgxgx所以aegxg4)2()(2min①当无零点时，)(,0)(4min2xgxgea②当只有一个零点时，)(,0)(4min2xgxgea③0)(4min2xgea时，22.（1）曲线C的直角坐标方程：116422yx直线L直角坐标方程：2)1(tanxy（2）联立116422yx与1cos2sinxlayla08)sin4cos8(sincos4222tt）（所以2tan,0sincos4sin4cos8022221得tt23.（1）当1a时，2,2621,21,42)(xxxxxxf，所以不等式0fx≥的解集为32xx（2）若1fx≤，则42xax，因为22axax所以只需要6242aaa或综上：a的取值范围为26aaa或