西安电子科技大学2011秋研究生随机过程试题

西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：随机过程课程编号：0721001考试日期：2012年1月4日考试时间：150分考试方式：(闭卷)任课教师：班号学生姓名：学号：一.（15分）随机过程,0tBBt被称为一个标准布朗运动，如果它满足：(a)00B；(b)B是平稳独立增量过程；(c)对任意的0t，随机变量~(0,)tBNt。试计算或证明以下问题：(1)对于任意0t，定义ttWtB，其中是实数，0。证明随机过程{,0}tWWt是一个正态过程。(2)对于任意0t，定义||ttYW，计算随机过程,0tYYt的一维分布函数1(,)P()tFtxYx和其一维密度函数。二.（12分）设{,0}tNNt为一个参数为1的泊松过程。证明：对任意的0st，2224P(2|4)C(1),stNNpp其中spt。三.（13分）设,0tBBt是一个参数为σ2布朗运动。对任意的0t，定义0dttsXsBs。试回答下面的问题：(1)求随机过程,0tXXt的均值函数()Xmt和相关函数(,)XRst。(2)判断随机过程,0tXXt是否均方连续和均方可导。解（1）B是标准布朗运动,于是00()EE00ttXtsmtXsBdssds。（1分）因222,;(,)(),BsstRststtst（1分）故由均方积分过程的相关函数等于被积过程相关函数的二重积分得:20000(,)(,)()ststXBRstuvRuvdudvduuvuvdv当st时000032522000()[()()]530stsutusustuduuvuvdvduuvuvdvuvuvdvstsuduvdvuduvdv（1分）当st时000000023522000()()()()530sttstvtsvtvtsvduuvuvdvdvuvuvdudvuvuvdudvuvuvdusttvdvuduvdvudu（1分）从而325232525,;30(,)5,30XstsstRsttstst①（1分）（2）由①知,相关函数是二元连续函数,从而过程X均方连续。注意到224232(),;(,)26,3XstsstRstsstst②322242,;(,)3(),26XststRsttsttst③（3分）因偏导在(,)()stst处的连续性显见,故(,)XRst在(t,t)处的一阶偏导存在且为423t。进一步由②,③不难得到22222,;(,),XststRsttstsst④22222,;(,),XststRstststst⑤（3分）从而(,)XRst在(t,t)处的二阶偏导也存在,为32t,显然是连续的。于是过程X的相关函数广义二阶可导，从而过程本身均方可导。（2分）四.（12分）设随机过程,tXXt是一个相关函数为||()XRe(其中0和)的平稳过程。对任意的(,)t，定义1tttYXX。（1）证明随机过程,0tYYt是平稳过程。（2）求出过程,0tYYt的谱密度。证（1）因X是平稳过程,故EXtmX与时间t无关，()E()XttRXX对任何t成立。从而EE()0YttatXXmYXXmm与t无关。（2分）||||||(,)E[()()]E[]()()()()2eee()YsastatsatasatstastXXXXtstsatsaYRstXXXXXXXXXXXXRtsRtsaRtsaRtsRts（4分）即(,)YRst只与t-s有关。因此，Y是平稳过程。（2）因j||22eed（2分）故Y的谱密度jj||j||j||jj22222222()e()2eeeeee2ee2[1cos()]YYaaaaSRdddda（4分）五.（12分）设是一个具有有限方差的随机变量。对任意的(,)t，定义tX。问：当随机变量满足什么条件时，随机过程,tXXt具有均值和相关函数的各态历经性。解由题设立得2EE,()E()E()XtXttmXRXX（3分）于是过程X是平稳过程。由定义有X的时间平均：1l.i.ml.i.m2TttTTTXXdtT（2分）X的时间相关函数：221l.i.ml.i.m2TttttTTTXXXXdtT（2分）因X的均值具有各态历经性P{}1tXXm,即P{E}1。（2分）X的相关函数具有各态历经性P{()}1ttXXXR,即22P{E()}1。（2分）由上两个等价条件中的任一个知,当且仅当几乎必然是常数时，过程X才具有均值各态历经性和相关函数的各态历经性。（1分）注：实过程X的均值各态历经性也可用如下判别条件201lim(1)()02TXTCdtTT因2()()()XXXCtRtmD,220011(1)()(1)()()22TTXCdtDdtDTTTT故X的均值具有各态历经性等价于()0D，即几乎必然是常数。相关函数各态历经性的其它等价判别条件需要至少具有四阶矩，不在本题考虑范围之内。六.（12分）已知一齐次马尔可夫链的状态空间{1,2,3,4,5}S，且其一步转移概率矩阵为10000100001000100001ppppPpppppp试回答下面的问题：(1)对状态空间S状态分解。(2)求状态5的首达概率(2)55f和(5)55f以及计算511jjj。七.（12分）设j为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为d，则一定有()limndjjnjjdp，其中jj为状态j的平均返回时间。证明下面的问题：(1)状态j为零常返当且仅当()lim0njjnp。(2)状态j为遍历的当且仅当()1lim0njjnjjp。八.（12分）设齐次马尔可夫链,0,1,2,...nXXn的状态空间{1,2,3,4,5,6}S，且其一步转移概率矩阵为0.600000.400.6000.400.10.10.10.10.50.100.20.20.40.2000.2000.800.400000.6P（1）试对状态空间进行分解。（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。（3）设初始分布0(),iPXiiS，其中1261111,,...,,,0,0,,4634，求概率(1)?,=1,2,3,...nPXn和概率1(1,2)?,=1,2,3,...nnPXXn。