二次函数中的符号问题

1（a、b、c、△等符号）2二次函数的几种表达式：)0(2aaxy)0(2acaxy)0()(2ahxay)0()(2akhxay)0(2acbxaxy)0(44)2(22aabacabxay①、②、③、④、⑤、⑥、(顶点式)(一般式)xyo3a的作用:(1)决定开口方向：a＞０时开口向上，a＜０时开口向下.(2)决定形状:︱a︱相同,则形状相同.︱a︱不同,则形状不同.(3)决定开口大小:︱a︱越大,则开口越小.︱a︱越小,则开口越大.(4)决定最值:a0时,有最低点,有最小值.a0时,有最高点,有最大值.(5)决定增减性:a0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大.a0时,在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小.4a,b的作用:a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴5c的作用:决定抛物线与y轴的交点：c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴c＝０时,抛物线过原点c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴6b2-4ac的作用:决定抛物线与x轴的交点：b2-4ac＞０时,抛物线与x轴有两个交点b2-4ac＝０时,抛物线与x轴有一个交点b2-4ac＜０时,抛物线于x轴没有交点b2-4ac≥０时,抛物线于x轴总有交点7回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是.a(0,C)直线x=-ab28归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a0开口向下a0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.交点在x轴上方c0交点在x轴下方c0经过坐标原点c=09（3）b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0归纳知识点：简记为：左同右异10归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c0a+b+c0a+b+c=0（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c0a-b+c0a-b+c=011abc2a+b2a-bb2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c开口方向大小向上a0向下ao对称轴与y轴比较左侧ab同号右侧ab异号与y轴交点交于上半轴co下半轴c0-与1比较ab2-与-1比较ab2与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标12xy１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b0,c0B、a0,b0,c0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c0xy2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b0,c=0B、a0,b0,c=0C、a0,b0,c=0D、a0,b0,c=0xy3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,b=0,c0B、a0,b0,c0C、a0,b=0,c0D、a0,b=0,c0BACooo用心练一练!13二次函数：y=ax２+bx+c(a≠0)a＞0△＞0b＜0c＞01.四个字母x=0时x=1时x=－1时y=cy=a+b+cy=a-b+c3.二个特殊位置c=0b=0信息：抛物线过原点y轴是对称轴2.三对特殊值14-2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1、当x=1时，2、当x=-1时，3、当x=2时，4、当x=-2时，y=a+b+cy=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+c…………………………xyo1-12151.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,a___0,b__0,c___0,abc___0b2a,2a-b___0,2a+b_____0b2-4ac_____0a+b+c_____0,a-b+c____04a-2b+c_____0==0-11-2用心试一试!16２、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列判断不正确的是（）①、abc0,②、b2-4ac0,③、a-b+c0,④、4a+2b+c0.xyo-123、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)④C17利用以上知识主要解决以下几方面问题：（1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置；（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关a,b,c的代数式的符号；18快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xoy19抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：20抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：21抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：22抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：23练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限xoyD24练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c0；③4a+2b+c＞0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个xoyx=1B25练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C264.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.1MOBAyx1想一想：27则正确的是：A.a0,b0,c0,b２4ac训练1：抛物线y=ax２+bx+c如图所示，B.a0,b0,c0,b２4acC.a0,b0,c0,b２4acD.a0,b0,c0,b２4ac28则有：A.a+b+c0训练2：如图所示抛物线y=ax２+bx+c，B.a+b+c=0C.a+b+c0D.a+b+c符号不定29则点P(a+b+c,abc)在A.第一象限训练3：二次函数y=ax２+bx+c如图所示，B.第二象限C.第三象限D.第四象限∴ａｂｃ＞０又：ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ时，Ｘ＝１如图，ｘ＝１时，ｙ＞０即ａ＋ｂ＋ｃ＞０分析：ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０30训练4:如图,x＝1是抛物线y=ax２+bx+c的对称轴，则3b－2c0分析：∵x＝1是对称轴又∵x＝－1时，y0∴a－b＋c0变形可得：3b－2c0将*代入：－b－b＋c012∴－＝1，a＝－b*b2a1231则a、b、c的大小关系是A.ab=c训练5：抛物线表示函数y=ax２+bx+c的图像,B.acbC.abcD.a、b、c大小关系不确定分析：a0，b0，c0隐含：a－b＋c0∴c－b－ac－b0cb32abc,且a+b+c=0,则它的图像可能是训练6:如图已知二次函数y=ax２+bx+c,如果分析：∵a＋b＋c=0∴a、c必异号且abc故a0，c033b＋c＝0则图像经过点A.(－1，－1)训练7：二次函数y=x２+bx+c中，如果B.(1，1)C.(1，－1)D.(－1，1)分析：若得b＋c＝0必取x＝1，此时y＝1＋b＋c＝1∴点（1，1）在抛物线上34训练8：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限cbxoyD35这节课你有哪些体会？1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析……36归纳小结：（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函数值y的取值范围返回（2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时AB=|x2-x1|=√(x1+x2)2+4x1x2=——这一结论及推导过程。√Δ|a|37