复旦大学车静光教授固体物理课件sec02

10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型1上讲回顾•固体的微观定义*固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动•贯穿课程的主线*周期性波在周期性结构中的运动10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型2本讲内容：建模推演比较修正•如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良好导电和导热现象*对已知现象，用已有知识，抓住要点*困难之处施展腾挪手段一时搞不清楚的相互作用，用近似和假定绕过去†自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似*用该模型研究金属的电导、热导成功地解释Wiedemann-Franz定律*对比实验，分析该模型的局限，提出模型改进之道10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型3第2讲、金属电子气的Drude模型1.已知的金属性质2.模型的建立——基本假定及其合理性分析3.金属电导率4.金属热传导5.Wiedemann-Franz定律6.Hall效应和磁阻7.Drude模型的局限10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型41、已知的金属性质模型建立的依据10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型5为什么研究固体从金属开始？•金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多*比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就被广泛应用*区分非金属，实际上也是从理解金属开始•当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这些性质的原因10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型6金属知多少？•良好的导电体、导热体*与温度有关•延展性、可塑性*金属光泽？•Wiedemann-Franz定律（1853）*当时热传导在应用上比电导更重要，但测量很困难LTΩK-2L:10-8Wcm-1K-1κ:W3.350.083.530.09Bi2.530.352.640.38Pb2.384.172.314.18Ag2.293.822.203.85Cu2.880.732.610.80Fe2.192.302.142.37Al2.430.732.220.71LiLκLκK373K27310.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型7从这些现象得到的对金属的基本认识•良好导电体、导热体？*化学：组成金属的原子大多位于周期表左边金属原子容易失去价电子传导电子？金属电导和热传导可能是价电子起作用？•延展性、可塑性？*与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?)†金属键——形象地说，价电子形成负电背景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?)†配位数——形象地说，就是原子周围最靠近该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及）*这些性质都说明，价电子活动空间很大10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型82、模型的基本假定及其合理性10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型9当时的物理？•1897年Thomsom的电子论*电子的发现是固体物理学发展的一个转折点*Drude（1863——1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关，当然也可以质疑这种猜测电子对导热有贡献有何根据？仅仅因为好的导体也是良好的导热体？•1900年物理学的状况？*量子力学还处于萌芽状态*只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立但是，当时理想气体的运动学理论已经非常成功10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型10金属中价电子行为的推测•金属特点*价电子可以活动的区域较大比如，Li原子间距3A，而原子半径0.5A（？）原子核小，因此，价电子活动空间大†价电子：束缚？自由？•分析推测图象（能够自圆其说？）*芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参与导电*价电子行为：离子实对它们的吸引力弱，可以离开离子实的束缚，自由地在整个金属中移动，这部分电子参与导电传导电子10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型11价电子运动图像传导电子芯区原子核Na1s22s22p63s1：价电子数量少，空间大考虑金属中价电子的行为10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型12如何建立模型？•Drude的经典金属自由电子气模型（1900）*在微观层次上解释实验测量宏观物理量的第一个理论模型*首先用于解释电导、热传导问题•那么如何根据已知的金属性质，构造模型？•在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑：1.经典还是量子？*无从选择！当时只有经典可供使用2.如何描写体系粒子间相互作用？*价电子之间？价电子与离子实之间作用？3.如何处理1029/m3个粒子？10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型13思考——假如你是Drude•根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？*与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子•不是电中性的，有库仑相互作用？那么*电子-电子如何相互作用？*电子-离子实如何相互作用？•还有——电传导（也包括热传导）是个输运过程，非平衡过程，所以*还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温度梯度）时，电子如何达到热平衡？按理想气体做？10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型14简化问题金属中价电子势(与离子)现在知道，金属中价电子真实势场的一维示意图：起伏的是价电子所遭受的有效势Drude模型假定的金属中价电子的势场示意图——常数！？因为真实的还不清楚！既然搞不清？那么，或者彻底简化；或者归到另一个也仍然不清楚的作用中去——腾挪！物理中常用手段10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型15看这样的图象能不能自圆其说•芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本身固定，不参与导电•价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动•离子实对价电子的作用可忽略不计*离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性•金属中的价电子就象无相互作用的理想气体，但模型与理想气体又有所不同：*电子气体的浓度比理想气体大三个量级*有两种粒子：电子，离子不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完成Drude模型的构造10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型16Drude(自由电子气)模型的基本假定1.独立电子近似：电子与电子无相互作用*既没有库仑作用，也不碰撞，与理想气体不同！2.自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用*离子实完全摸平，均匀分布在整个空间，只起维持系统的电中性。只有为防止电子被外电场无限加速而设的碰撞作用3.弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ*这是个非常重要的招数，避免电子被无限加速，碰撞后失去原来速度记忆——引入散射机制*如何将碰撞结合进电子的运动方程成为关键10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型173、金属电导率10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型18电流密度与外电场之间的关系EFe•n是电子密度。根据牛顿定律，电子将被加速，飘移速度会随时间不断增加，趋于无穷•没有外电场时，电子各个运动方向等价，互相抵消，没有整体流动，无电流。当有电场存在时，电子受力•这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体漂移，速度v漂移，显示出电流，其电流密度漂移vjne思考：电子的漂移速度与电子内在速度比较？•需要检查电子运动方程中被散射的机制！10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型19弛豫时间近似•电流密度与电子的平均速度或平均动量有关•考虑在dt时间内，由于外力F作用下，p的变化•由弛豫时间近似，即假定电子在单位时间经历一次碰撞的几率为1/τ，则未碰撞几率为1-dt/τ，所以，在t+dt时刻平均动量为•整理后即得pvjemnene2)(dtOdtdFpdtttdtdttFpp1ttdttdFpp10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型20散射图象•弛豫机制：电子在电场力作用下加速，与离子碰状，或说受到散射，平衡后（dp/dt=0）达到一稳定速度——漂移速度mne2/tme漂移vEEj漂移vjneEvEpemete漂移0ttdttdFpp10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型21估计(由实验电导率)验证•在无法知道碰撞的细节时，τ是最重要的*电导可测，如果取n~1022-1023cm-3，在室温下，弛豫时间大约在10-14~10-15秒，低温时大一个量级•由此，可估计平均自由程：l=vτ*其中电子的平均速度v可由经典的能均分定理得到室温时，~107cm/s•于是，l~10-9m，基本与原子距离的量级相当*似乎很合理，与Drude假定自洽*但实际电子平均自由程要大103倍*在极低温更大，l~cm，几乎是108倍的原子间隔有深刻的物理原因！mne210.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型22讨论：模型的三个基本假定•独立电子近似*很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道*与其他相比，多数情况下昀不重要，除非强关联•自由电子近似*即使以现代量子的观点来看也是很好的近似1916年的Tolman实验支持这个假定•弛豫时间近似*不可能完全自由电导率无穷大，无法取得热平衡10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型23讨论：达到热平衡方式•与(固定的)离子实的碰撞，碰撞前后速度无关*即对以前的速度没有记忆•碰撞后获得速度的方向随机；*合理的假定•速率与碰撞处的温度相当*很含糊？*对电导不起作用，因为方向随机，平均没有贡献*对热导有用，规定携带前一次碰撞的温度（动能）10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型24评论•这里碰撞或者说被离子散射是电阻的根源，无碰撞，弛豫时间无穷大，电导率无穷大•观察这个公式，除了弛豫时间外，其他都是已知的。有一待定系数τ，因此总可以与实验符合，从而直接与实验比较就没有意义*除非这个系数独立，即对所有材料都相同！•电导率与温度有关。因为有待定参数τ，不能验证•电子密度n？由价电子数决定？价电子数越多电导率越大？•Drude模型成功在Wiedemann—Franz定律先看热传导系数mne210.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型254、金属的热传导10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型26Tjq•直觉：导体好于绝缘体电子导热vxTvxTnvjq21•热流密度与热导系数的关系dxdTdTdnv2•热传导是能量的输运，设温度梯度在x方向，高温低温电子在高温处以及在低温处经昀后一次碰撞，携带其能量，到达x处，高温低温，低温高温，导致热流。x处的密度n，高温、低温处各贡献一半，1/2nvl10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型27能量均分定理←经典的M-B分布•利用能量均分定理和定容比热的定义222231vvvvzyxvlcvcVV31312VcdTdEVdTdVNdTdn1•比较前式，可得•根据电子平均能量，即可得B23nkcVTkB2310.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型28评论•金属电