第二章习题和答案-简化

2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：mgk，即：//nkmg取系统静平衡位置为原点0x，系统运动方程为：00020mxkxxx解得：()2cosnxtt2.4一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0，则当m有转角时，系统有：2222111()()222TEImrImr21()2Ukr由()0TdEU可知：22()0Imrkr即：22/()nkrImr（rad/s）2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,kkkk。解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x，则当m有x位移时，系统有：212TEmx22211115226Ukxkxkx（其中：1212kkkkk）由()0TdEU可知：1503mxkx即：153nkm（rad/s），1325mTk（s）2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。解：两轮的质量分别为12,mm，因此轮的半径比为：1122rmrm由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：121212rr取系统静平衡时10，则有：222222111222121111111()()()22224TEmrmrmmr2221112221211111()()()()222Ukrkrkkr由()0TdEU可知：222121112111()()02mmrkkr即：12122()nkkmm（rad/s），121222()mmTkk（s）2.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时0，则当轮子有转角时，系统有：2222111()()222TPPEIRIRgg21()2Uka由()0TdEU可知：222()0PIRkag即：22nkaPIRg（rad/s），故2222nPIRgTka（s）2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示nxxn0ln1，(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为()xt；0t时刻的位移为0x；0nttnT时刻的位移为nx；则：0000()0cos()cos[()]nndndtnTdtnTnddxXetexXetnT所以有：001lnlnndnxxnTnnxx，即：nxxn0ln1当振幅衰减到50%时，00.5nxx，即：211ln2ln22n1)当0.01时，11n；要11个循环；2)当0.1时，1.1n；要2个循环；3)当0.3时，0.34n；要1个循环；2.21重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：0PPxcxxg系统的阻尼比：22ccmkPPg系统不振动条件为：1，即：2/cPg物体在平衡位置以初速度0开始运动，即初始条件为：0000xx此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当1时：221112()()nnntttxteAeAe其中：01,22121nnAg2)当1时：12()nnttxtAeAte，其中：1200AA即：0()ntxtte3)当1时：12()(cossin)ntddxteCtCt其中：12020/1ddnCC，即：0()sinntddxtet2.26某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为50cosFt(N)，系统在周期T＝0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。解：由0.20Ts时共振可知，系统固有频率为：210nT当n时，已知响应振幅：0FXc，（参教材P30）所以：5010(/)FcNsmX