第八章平面坐标下的分离变量

第八章平面坐标下的分离变量本征值问题（一）分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。§8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。其定解问题为2000000(0)()()ttxxxxltttuauuuxluxux(8.1.1)这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射。这样,驻波解的一般表示式应当为设(,)()()uxtXxTt(8.1.2)在(8.1.2)中，自变数x只能出现于X之中，自变数t只出现于T之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：20(0)()0()()0XTaXTXTtXlTt(8.1.3)条件(8.1.3)表示，在时刻t，)()0(tTX和)()(tTlX总是零。这样只能是0)0(X和0)(lX(8.1.4)只有边界条件是齐次的,才得出(8.1.4)这样简单的结论。现用2aXT遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得2TXaTX(8.1.5)左边是时间t的函数,跟坐标x无关,右边则是坐标x的函数,跟时间t无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作“”。2TXaTX(8.1.6)(8.1.6)可以分离为关于X的常数微分方程和关于T的常微分方程,前者还附带有边界条件X+X=0(0)0()0XXl(8.1.7)02TaT(8.1.8)现对(8.1.7)在0,0,0三种可能的情况分别加以讨论。1、当0，方程(8.1.7)的解是xxeCeCxX21)(积分常数1C和2C由边界条件确定,即121200llCCCeCe解出120,0CC,从而0)(xX,解(,)0uxt没有意义的。因而排除了0的可能。2、0.方程(8.1.7)的解是21)(CxCxX21200CClC仍然解出120,0CC，从而()()()0uxtXxTt仍没有意义,应予排除。现只剩下一种可能性，即03、0的情况方程(8.1.7)的解是xCxCxXsincos)(21其积分常数由下式确定120sin0CCl若20C问题仍无解。只能0sinl唯一的可能是nl（n为整数）亦即222ln(8.1.10)当λ取这些数值时，lxnCxXsin)(2(8.1.11)2C为任意常数。(8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族。这样,分离变数过程中所引入的常数不能为负数或零,甚至也不能是任意的正数,它必须取(8.1.10)所给出的特定数值。常数的这种特定数值叫作本征值,相应的解(8.1.11)叫作本征函数。方程(8.1.7)和边界条件则构成所谓本征值问题。再看关于T的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为02222TlnaT这个方程的解是latnBlatnAtTsincos)((8.1.12)其中A和B是积分常数把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到分离变数的形式解(,)(cossin)sin(0,1,2,3)nnnnatnatnxuxtABnlll(8.1.13)n为正整数。这就是两端固定弦上的可能的驻波。每一个n对应于一种驻波,这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动。在nklx(0,1,2,3,,)kn共计1n个点上，sinsin0nxkl从而(,)0nuxt。这些点就是驻波的节点，相邻节点间隔nl应为半波长,所以波长2ln。本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是nal,从而频率22nafl。其线性叠加便得到物理问题的一般解1(,)(cossin)sin8.1.14nnnnatnatnxuxtABlll其中nA和nB为任意常数，这里尚未考虑初始条件。为了确定叠加系数nA和nB，（8.1.14）满足初始条件。11sin()8.1.15sin()(0)nnnnnatAxlnanatBxxlll(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数,这就启示我们应把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较两边的系数就可确定nA和nB。002()sin8.1.162()sinlnlnnAdllnBdnal解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数,这正是第一类齐次边界条件所决定的。回顾整个求解过程,可以作出图解如下:偏微分方程分离变量常微分方程（关于X）+边界条件本征(值)函数常微分方程（关于T）+初始条件叠加系数本征值通解本征函数一方面，把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,问题转化为求解常微分方程；另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作分离变数法。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数,不过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去。现将上述弦振动的解与实验结果比较：（图仅示意）1n1sinxTl波速a2n22sinxTla3n13sinxTla结果与实验情况完全一致。§8.4本征值问题（一）我们知道，常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数（如）的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。通过上述讨论，我们发现本征值有如此的规律性。（1）()()0(0)0()0XxXxXXl本征值和本征函数分别为：222()sin(1,2,)nnnlnXxCxnl（2）()()0(0)0()0XxXxXXl本征值和本征函数分别为222()cos(0,1,2,)nnnlnXxCxnl（3）()()0(0)0()0XxXxXXl本征值和本征函数分别为2221()212()sin(0,1,2,)nnnlnXxCxnl（4）()()0(0)0()0XxXxXXl本征值和本征函数分别为2221()212()s(0,1,2,)nnnlnXxCcoxnl（5）()()0(2)()本征值和本征函数2()cossin(0,1,2,)mmmmxAmBmm