第18讲任意角的三角函数

1三角函数【整体感知】：三角函数是高中数学中比较重要的一种函数，充分体现了函数的数形结合的思想运用。经常渗透知识点间的交汇。三角函数是高考必考内容和考试热点，三角函数的概念、公式、性质试题多以选择题出现。一般地，三角函数与向量，解三角形的综合试题，成为了高考中的一个重点题型。【热点点击】：三角函数的同角公式和三角函数的性质是高考考查的热点,同时三角函数图像的变换也是我们必须要熟练掌握的。【本章考点】:三角函数的有关概念、三角函数的图像、三角函的性质、诱导公式和同角公式、是本章考点.【高考命题趋势】：1.考查三角函数的同角公式的运用，多数以选择题形式出现；2考查三角函数的图像与性质的综合运用，多数有选择题，填空题以及大题来考查；3.考查三角函数的图像的变换，多数以选择题形式出现；4.考查三角函数性质及其应用的题目可能以各种形式出现.考查三角函数的问题选择题或填空题多是中档题，解答题数中档题目.对三角函数的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势.【高考复习建议】：1.三角函数渗透着函数基本思想，因此掌握常见的正弦函数、余弦函数、正切函数图像以及性质，使我们学习的重点；2。同时我们要把三角函数与向量的综合试题，以及三角函数与解三角形的综合试题要熟练，体会它们间的关系，尤其是数形结合思想使我们学习三角函数最常用和重要的方法之一。.第18讲任意角的三角函数【考点解读】1.角的概念的推广和象限角的概念以及终边相同的角的集合的表示；2.弧度制与角度制的换算公式；3.掌握任意角的三角函数定义及三角函数的符号与角所在象限的关系；4.认识三角函数线。【知识扫描】一、角的概念的推广1．与角终边相同的角的集合为．2．与角终边互为反向延长线的角的集合为．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．4．象限角是指：．5．区间角是指：．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝º．8．弧长公式：l＝；扇形面积公式：S＝.二、任意角的三角函数9．定义：设P(x,y)是角终边上任意一点，且|PO|＝r，则sin＝；cos＝；tan＝；210．三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．【考计点拨】牛刀小试1．(2008年高考全国卷Ⅱ)若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.2．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B.34C．1D.54解析：选B.2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.3．记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk【答案】B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了－＋－+cosx,＋＋－－sinx,－＋＋－tanx,xyOxyOxyOxyO3弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos801cos(80)1k,所以tan100tan802sin801.cos80kk4．若函数f(x)＝－cosπx，x0，f(x＋1)＋1，x≤0.则f(－43)的值为________．解析：由已知得：f(－43)＝f(－13)＋1＝f(23)＋2＝－cos2π3＋2＝52.答案：525．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)的值为________．解析：f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32.答案：－32[典例分析]考点一：判断象限角例1.若是第二象限的角，试分别确定2,2,3的终边所在位置.解：∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜2＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜2＜n·360°+270°.∴2是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3＜k·120°+60°（k∈Z），当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜3＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜3＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，4n·360°+270°＜3＜n·360°+300°.∴3是第一或第二或第四象限的角.变式训练：已知是第三象限角，问3是哪个象限的角？解：∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜3＜90°+k·120°.①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m·360°＜3＜90°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第一象限.②当k=3m+1(m∈Z)时，可得180°+m·360°＜3＜210°+m·360°（m∈Z).故3的终边在第三象限.③当k=3m+2（m∈Z）时，可得300°+m·360°＜3＜330°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第四象限.综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.规律小结：首先根据象限角，写出角的范围，再视情况得出相应的不等式。考点二：根据三角函数值，求角例2.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin≥23;(2)cos≤21.解：（1）作直线y=23交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+3≤≤2k+32，k∈Z.（2）作直线x=21交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为Zkkk,342322|.变式训练：求下列函数的定义域：5（1）y=1cos2x；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈32,32kk（k∈Z）.（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜43,∴-23＜sinx＜23.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x（k-3,k+3）（kZ).规律小结：根据三角函数值求角，可借肋三角函数图象或三角函数线，并注意角的范围，此题型常见于求定义域，是常考题型，必须熟练掌握。考点三：化简与求值例3.已知f()=)sin()tan()tan()2cos()sin(;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos5123，求f()的值.解：（1）f（）=sintan)tan(cossin=-cos.（2）∵cos23=-sin,∴sin=-51,cos=-65251522,∴f()=652.变式训练：已知角的终边经过点P2(3,)(0),sin4mmm且，试判断角所在的象限，并求costan和的值．解：由题意，得2223,,0,543mrmmmm故角是第二或第三象限角．当5m时,22r，点P的坐标为(3,5)，36515cos,tan43223xyrx当5m时,22r，点P的坐标为(3,5)，636515cos,tan43223xyrx例4．求值：(1)已知53)7cos(,2，求)2cos(的值．2)已知11tantan，求下列各式的值．①cossincos3sin；②2cossinsin2解：（1）54)22cos(；（2）35cossincos3sin变式训练：化简：①)4sin()8cos(tan)5sin(，②)4cos()4sin(解：①原式＝sinθ②原式＝0例5.已知－02x，sinx＋cosx＝51．（1）求sinx－cosx的值．（2）求xxxtan1sin22sin2的值．解：(1)－57，(2)－17524变式训练：已知sin+cos=51,∈(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解方法一∵sin+cos=51,∈(0,),∴(sin+cos)2=251=1+2sincos，∴sincos=-2512＜0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-51x-2512=0的两根，解方程得x1=54,x2=-53.∵sin＞0,cos＜0,∴sin=54,cos=-53.∴（1）tan=-34.（2）sin-cos=57.（3）sin3+cos3=12537.方法二（1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos7=1-2×2512=2549.∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,∴sin-cos=57.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=51×25121=12537.规律小结：在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?