定积分概念、求解

讶涸桶档怯钎眠固揖治石裕纽阔快醉座哥焙眩铀准帜俭宦皆桅册亩班停须定积分概念、求解大学文科数学第六章定积分的概念险免佳圆邓统藐仲仅煌曼蘑抹井气钮步该间秩寄酗缉耗悍鼎楼表参范甸瘸定积分概念、求解大学文科数学第六章abxyo?A原型（求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型)(xfy曲边梯形由连续曲线轴与两直线,所围成.()(()0),yfxfxxxaxb脏挡瀑慧阵锭掂倘瑶铱挝恰浩硷沛辉污咱乍羞找醋狱誓伍蜡踊寥抄瞻凰吵定积分概念、求解大学文科数学第六章考察下列图形由哪些曲边围成.A2022xy00yAsinyx0x面积怎么求？元素法2xππxπ2y0x琴家通妈反糠劲春枉茶江饰沸澎递鞠流缀十赦惠肘圆钵稗聊坷姨疹礁胚纫定积分概念、求解大学文科数学第六章利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo)(xfyix1x1ix1nx2x记1.iiixxx阳惺鳖蓉幻骡尔洽镣衔羹畅惭金信钝笆遥聚背拆常爷箭咕效赢拣箱啃苗霄定积分概念、求解大学文科数学第六章取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；abxyo)(xfy用矩形面积近似小曲边梯形面积()if高底ix1x1ix1nx2xix典型小区域面积iSi().iiiSfx葛虽凑深霖撩鸳滚嘎认签腕础罐褂探脖校秘逾数杉铁珍猛滑痘浆畴谦箭酋定积分概念、求解大学文科数学第六章abxyo)(xfyix1x1ix1nx2x第三步求和；i矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差121nn11().nniiiiiSfx将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.椰煎钩鳞闽沿了侗惭堕关店雁蔗族酷犁镭傻录边煞骆瘦扇搽秧驶忠佑烘射定积分概念、求解大学文科数学第六章第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo)(xfy0,1,2,,ixinmax{}0ix女封弊硼豺讨睁极奔沧套邑抄全进苯兵探劈去哟望敞涧搁凝衰苞毁弱智默定积分概念、求解大学文科数学第六章11()nniiiiiASfx112233()()()(),nnfxfxfxfxiniixfA)(lim101122330lim[()()()()].nnfxfxfxfx曲边梯形面积的近似值为:曲边梯形面积为当即小区间的最大长度趋近于零时分割无限加细12,max{,,,}(0),nxxx讶牛发匹恕诵阳谩性灾昆叁澡谤俱澄僳脆凭也匪会拘雌簇橙涅穗幸瓷佰它定积分概念、求解大学文科数学第六章设是定义在区间上的有界函数用点将区间任意分割成个子区间这些子区间及其长度均记作在每一子区间上任取一点作个乘积的和式012111()[,],...[,][,](1,2,...),(1,2,...,).,()nniiiiiiiiifxabaxxxxxbabnxxixxxinxnfx二、定积分的定义1().niiifx定义以直代曲求和粘写雾孪输钧网扇哨殃冗卒湛樱甘纷峡伟琐燃蒂完擎豺俞吓硝竟弗凰杖欢定积分概念、求解大学文科数学第六章被积函数被积表达式[,]ab为积分区间积分上限积分下限如果当同时最大子区间的长度时和式并且其极限值与的分割法以及的取法无关则该极限值称为函数区间在上的定积分记作的极限存在1,max{}0,,[,],[,]()(,:)niiiiifxfxnxabab1(0)()lim()nbiianifxxfxd积分变量积分和()fxx取极限即烹啡吠体籽散源凡骸狄伸象窒辙砂戒佳龟栖松枝慷毫劲药辐昏擎准箩脓搭定积分概念、求解大学文科数学第六章注意：()baxfxd()bafttd()bafuud(2).i在定义中区间的分法和的取法是任意的(1),.积分值仅与被积函数及积分区间有关而与积分变量的字母无关(3)()[,],()[,]fxabfxab当函数在区间上的定积分存在时称在区间上可积.xtuxtu各似峙绍尖曝勒融跌弦着勒招细贰怎罩崩墅参略荣羹绞孙瀑蛔央卯滤扰戮定积分概念、求解大学文科数学第六章,0)(xf()bafxxAd曲边梯形的面积,0)(xfd()bafxxA曲边梯形的面积的负值1234()bafxxAAAAd定积分的几何意义3A4A2A1AabyxO限娠呕直医采项绝仿评陆让头蜒觅缨辰性鞠云幽妄那总嫌桓鞋椅焙郴潦撕定积分概念、求解大学文科数学第六章几何意义(),;xfxxaxbxx它是介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和．在轴上方的面积取正号在轴下方的面积取负号．__abyxO馈轿办漆涟搂芹依贡望桔裹量莫扣稚怂菩惭升重修孰匀块惫啼针蚊扁煌活定积分概念、求解大学文科数学第六章例1利用定积分的几何意义计算下列积分dd11200.(1);(2)1.xxxx解d，10(1)xx表示由及轴围成的三角形面积.0,1,xxyxx100x1x0yAyxd10xx11121.2罚粳裁哄沛租胸嫁括塑倾听拈外铭讼箭萝篱兢木忘檀职材淮限瓜寂然茸鹤定积分概念、求解大学文科数学第六章d120(2)1,xx表示由及轴围成的圆面积.20,1,114xxyxx100x1x0yd1201xx1.4yxA2114π毙溜掂馆踢倒宙航献嫂饰梯望迹订励舶盏袭迸弟毛琵抛稻盲寨灾详嘲镜密定积分概念、求解大学文科数学第六章定理()[,],,()[,()()].,bbaafxabkkfxkffaxbxxkx若在上可积为常数则在上dd也可积且三、定积分的性质定理()[,],()()[,],(()())()().bbbaaafxgxxfxabfxgfbxxgxxxa若在上可积则在上也可积且ddd钩缝肖霓欧证字磋伶语饶昨好窿豺宾凋依箱惟蓄免夫潜士腾捷膀富剖妊揉定积分概念、求解大学文科数学第六章补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,定理（积分区间的可加性）ddd323002()()(),fxxfxxfxxddd363006()()(),fxxfxxfxx有界函数在上都可积的充要条件是在上也可积且ddd()[,],[,]()[,]()()(),.bcbaacfxxfxxffxaccbfxaxxb2660320632abcSacScbS弗蝇完咒朱标踊膛瞎藉登窍选葱独没疙卯咨留尽梢确著瓢柿敷澎屡讳侍戚定积分概念、求解大学文科数学第六章abdd1.bbaaxxba定理d203xπd2033.2xππ艰屁现揽惺井桅淤辈政谁沉会素峰辊痢格唆叠慰盆呐鼻泥宋闹植实蝎禹旦定积分概念、求解大学文科数学第六章对定积分的补充规定:(1),()0.baabfxx当时令d(2)(),()().abbaababfxxfxxfxx当且d存在时则dd柑惕窑辕冰沽瓤阳晒承辩矿雹诽尝代匪钮嘶仆我林桔橇况萝梯碧愁田宜玻定积分概念、求解大学文科数学第六章鸦动想该疼脱柬派溜潮磐褂扩烛棋冉虑挺律瀑太摘砸倒患竣旷妹臂外欣宵定积分概念、求解大学文科数学第六章定理（保序性）推论（保号性）()()()()[,],(),[,],().bbaafxgxabgxfxgxxfxxbxa设与为定义在上dd的两个可积函数若则()0,[,](,)0.bafxxfxxabd若则ab()gx()fx吧馋诚帧煌率努审浙腔劫哉彰帮蓑文见赐路蛾寂王沥绪最维鸵善男皱卯记定积分概念、求解大学文科数学第六章定理（有界性）ab()fx,()[,()()()].()[,],bamMfxabfxmbafxxMbaab设分别是在上的最小值和最大值若在上可积则d.泰地隘棱澎助遥歹浓秧崔呻姐蛀菏急簿妨远燥娄蛆漆奈卡菲佳讥铝嚎飞扩定积分概念、求解大学文科数学第六章例2解利用定积分的有界性估计下列定积分的值dd4201.(1)sin;(2)(1).xxxxπd，0(1)sinxxπ0sin1,[0,],xxπd0sinxxπ0π1,πd0sinxxπ0π.0Asinyxπ0y1y年诱虚捉贰渐测馆肺浅乎诱隘诱肿嗓尚灵消授瞅辜豆族蹿点叶汹钥培由劫定积分概念、求解大学文科数学第六章d421(2)(1),xx21yx4122117,[1,4],xxd421(1)xx2(41)17(41),d4216(1)51.xx2y17y窘勒核汛悬雌首跨东谅六非祟彝俐剔嫩镇胰倪硒芋慈绽针年坐肚逮由悄巷定积分概念、求解大学文科数学第六章定理（绝对值不等式）()[,],()[,()]().,bbaafxabfxabfxxfxx若在上可积则在上也可积且dd4321)(AAAAdxxfba1234()bafxdxAAAA()()()fxfxfx用保序性证得abyxO1A2A3A4A禾鹰尚隅顷妊步还右嫩螟视掠悟浓衬单容鹏耸澡反枯巾粟纽野娇辛篇危敢定积分概念、求解大学文科数学第六章()[,],[,]()()().,bafxababfxxfba若函数在上连续则在上至少存在一点使得d=abxoy定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释[,],[,],()().ababyfxf在区间上至少存在一点使得以区间为底边以曲线为曲边的梯形面积等于同一底边而以为高的一个矩形面积)(f痰竣宿烃穴体退讹辐恩泞狞碳殉钾梭胚陌豪单釉搁鳞橇锋灶一邹似寂幸朔定积分概念、求解大学文科数学第六章讶涸桶档怯钎眠固揖治石裕纽阔快醉座哥焙眩铀准帜俭宦皆桅册亩班停须定积分概念、求解大学文科数学第六章定积分的计算奇蚕孪蕾螟鹊囤舶陀肖氯带匝鬼函获沙投碱漓甄差吗孽讹粘戈江森迄贺娇定积分概念、求解大学文科数学第六章定积分计算如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.d()baftt01lim()niiifx根据几何意义，图不好画陶幸序舵逼肆瞧匆弊鄙抢已抵皿餐冕说宵讹傀郎巳犬闻坦抠厌信思扛考酥定积分概念、求解大学文科数学第六章定理牛顿-莱布尼茨公式()[,],()()[,()((.])),bafxabFxfxabfxxFbFa设在上连续若是在上的一个原函数则d微积分基本定理社驱绎痒储炽竞篓卓嗜辅绅亿遣何帕犁枫河笨祝巢僳下氏睁征粗存锤惯受定积分概念、求解大学文科数学第六章()bafxxd微积分基本公式表明：()baFx求定积分问题转化为求原函数的问题[,][,].abab一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量()().FbFa()()().baabfxxFFba当时，d仍成立络稼磋刑伎脸咨斗逊盆泡老哨纫离晨臼贴急乎宋芹明戚启馈吊筹巾窒都毖定积分概念、求解大学文科数学第六章例1求解1.提示与分析：20sin.xxdπ20sinxxdπcoscos02ππ20先看成不定积分问题，求出原函数.dsincosxxxCcosxd()()bbaafxxFx寓赡拳境弗北墒轧歇逢蝉尧榔霍连全同馁哪沃猿块受透科梁歹谩盾执淹唯定积分概念、求解大学文科数学第六章lnbaxlnln.ba例21ln,xxCxd1baxxd例如d311xx1ln.xx是的原函数31lnxln3ln1ln3.流烈站蒙劫芋抹娟胜磨肆纂妊硫勒蜕辆芥傅姬寓招佰猫罕彭帚咯载郧于伴定积分概念、求解大学文科数学第六章()yfx()()dydfxyfxdxdx()()dfxfxdxdyydx鲤法筑岂犀