平面向量坐标运算及共线的坐标表示

海盐高级中学高新军复习引入：1.平面向量的基本定理是什么？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).我们需要研究的问题是：⑴向量的和、差、数乘、模的运算，如何转化为坐标运算。⑵共线向量（定理）如何通过坐标来表示。探究（一）：平面向量的坐标运算思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).说明：向量和（差）的坐标等于这向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.oxyBAAB思考2：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？＝(x2－x1，y2－y1).AB㈡任意一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.思考4：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的点P的位置？oxyBAP(x2-x1,y2-y1)思考5：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则如何计算？AB222121AB(xx)(yy)AaxyO22xya㈢也叫距离公式探究（二）：平面向量共线的坐标表示思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？a＝λb.㈣向量a，b（b≠0）共线1221xyxy思考3：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？xyOP2P1PPP㈤.三角形中位线定理12AMABACABCM思考4：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且，那么点P的坐标有何计算公式？1212xxyyP(,)11xyOP2P1P21PPPP㈥定比分点坐标理论迁移例1已知a=(2,1),b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，3a＋4b＝(－6，19).例2如图，已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标.oxyABCDD（2，2）例3已知向量a=(4，2)，b=(8，y),且a∥b，求y的值.y＝4例4已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？，A、B、C三点共线.2ABAC3小结作业1.向量的坐标运算（加、减、数乘）2.向量AB的坐标如何求？3.如何用向量的坐标求向量的模？4.若a//b(b≠0)它们的坐标满足什么关系式？5.三角形中位线定理是什么？ACABAM21ABCM1,16212121yyxxPPPPP坐标为时，点、当课后练习：)(,//),1,4(),3,2(.1ybayba则且若A.6B.-5C.7D.-82.若A(x,－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为()A.－3B.－1C.1D.3BB课后练习)(),,()4()3(,2.3的值可能分别为、共线，则与同且为单位向量轴正方向相轴、的方向分别与其中若yxDCAByxjijyixDCjiABA.1,2B.3,2C.2,2D.2,4C课后练习5.已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5,7)，B(3,x)，C(2,3)，D(4,x)，则x=..,22),1,(),2,1(.4的值为则平行与若已知xbabaxba