时间序列分析讲义(4)

2．增广的Dickey-Fuller(ADF)检验前面学习的DF检验主要是检验AR(1)过程中是否有单位根，而在实际问题中经常采用AR(p)过程建模。现在我们考虑检验AR(p)过程是否有单位根的问题，也就是把DF检验扩展到了ADF检验。第一种情况。考虑AR(p))2(p过程,2,1),2,0(~,)1)((1)(pptNIIDtututYLLptYLp。模型(d-1)其中1p次方程01111)(1pxpxxp的根都在单位圆1||z以外（回忆这个要求的一个必要条件是111pii，一个充分条件是111||pii）。从而p次方程311)21(2)12()1(1,221)1(1)1)((1)(0ppxppxppxxpxxxxpxp是否有单位根1x取决于是否1。为了便于估计模型参数，我们把单位根分离出来作为一个系数，把模型改写为,2,1,)1(1)21(11ppttuptYptYptYtYtYtY。模型(d-2)其中当2p时1)1(,11；当3p时11pp，1)1(22ppp，)21)(1(33pppp，)221)(1(11pp，)121)(1(pp。从而1)1(111111ppii。由于0111)1(1piip，因此在模型(d-1)中1或1，当且仅当在模型(d-2)中1或1。给定样本Tyyy,,2,1。我们将只对模型(d-2)检验假设零假设1:0H对单边备择假设1:1H。“但是，人们能够以一种显然的方式容易地考虑爆炸性的甚至双边的备择假设（Dickey-Fuller(1986)）”。当1:0H为真（等价于1）时，从模型(d-1)看出tY有一个单位根，它正是ARIMA(p-1,1,0)过程。当1:1H为真（等价于1）时，从模型(d-1)看出tY是因果平稳零均值的AR(p)过程。根据模型(d-2)，我们以)1(,),21(,1ptYptYtYtYtY作为解释变量对tY（Tppt,,2,1）回归，得到p个未知参数1,,1,p的最小二乘估计1ˆ,,1ˆ,ˆp。详细过程从略。定义T比值统计量为)ˆ(ˆ1ˆˆarV。补充定理4当1:0H为真时，则有（1）TdrrWWdpiiT10)(21)1(2211111ˆ。（2）TdrrWWd10)(21)1(221ˆ。我们看到虽然定理4（1）中左边随机变量的极限分布与定理1（1）中)1ˆ(T的极限分布相同，但是含有未知的真参数值1,,1p，不能直接用于检验零假设1:0H。注意到在零假设）（等价于11:0H下，1,,1,piii。以)1(,),21(ptYptYtYtY作为解释变量对1tYtY（Tppt,,2,1）回归，所得系数1~,,1~p可以作为定理4（1）中1,,1p的替代值（相合估计），渐近分布仍然成立。这样就可以用于检验零假设了。定理4（2）中的ˆ是不含未知参数的统计量，可用于检验零假设1:0H。虽然它与定理1（2）中的ˆ定义的背景不同，但它们有相同的渐近分布。我们仍然可以用张世英的教材的附表2中的情况一。第二种情况。考虑AR(p))2(p过程,2,1),2,0(~,0)1)((1)(pptNIIDtututYLLptYLp。模型(e-1)其中1p次方程01111)(1pxpxxp的根都在单位圆1||z以外。为了便于估计模型参数，我们把单位根分离出来作为一个系数，把模型改写为,2,1,)1(1)21(110ppttuptYptYptYtYtYtY。模型(e-2)其中模型(e-1)与模型(e-2)系数之间的关系如同模型(d-1)与模型(d-2)系数之间的关系。特别是，在模型(e-1)中1或1，当且仅当在模型(e-2)中1或1。给定样本Tyyy,,2,1。对模型(e-2)，我们将只检验假设零假设001:0同时H对备择假设0)1)(1(1)1(01:1p-pH同时。当0H为真（从而1）时，从模型(e-1)看出tY有一个单位根，它是没有常数项的ARIMA(p-1,1,0)过程。当1H为真（从而1）时，从模型(e-1)看出tY是因果平稳均值为0)1(0)1)(1(10pp的AR(p)过程。根据模型(e-2)，我们以)1(,),21(,1,1ptYptYtYtYtY作为解释变量对tY（Tppt,,2,1）回归，得到p+1个未知参数1,,1,,0p的最小二乘估计1ˆ,,1ˆ,ˆ,0ˆp。详细过程从略。定义T比值统计量为)ˆ(ˆ1ˆˆarV，我们用下标标记第二种情况。补充定理5当001:0同时H为真时，（而我们错误地估计了模型(e-2)），则有TdrrWdrrWdrr)(10)(210)()1(1)1(221ˆ。虽然定理5中的ˆ与定理2（2）中的ˆ定义的背景不同，但它们有相同的渐近分布。我们仍然可以用张世英的教材的附表2中的情况二。例6基于样本236,,2,1yyy估计带有3p的模型(e-2)，得到)066.0()065.0()011.0()062.0()32(094.0)21(343.01988.0082.0tutYtYtYtYtYtY由于988.0ˆ小于而接近于1，我们想要检验零假设001:0同时H。我们用ˆ统计量进行检验，其样本值为091.1011.01988.0ˆ。对最接近的样本数250T，在下尾概率0.1，0.05，0.01上，ˆ的累积分布的临界值分别是-2.57，-2.88，-3.46，见教材附表2情况二。由于091.1ˆ比这三个临界值都大，所以在检验水平10%，5%，1%上都不能拒绝零假设。从而强烈地认为tY有一个单位根。第三种情况。考虑有线性趋势的模型,2,1,)10(ttXttY，（模型(f-1)）其中00Y，而tX是没有常数项的AR(p)（p2）过程,2,1),2,0(~,)1(1)21(11pptNIIDtutuptXptXptXtXtXtX我们把模型改写为tupjjtYjtYjtYttY11)1(10。（模型(f-2)）事实上，tupjjtYjtYjtYttupjjtYjtYjtYtpjjtupjjtYjtYjttYttupjjtXjtXjtXttY11)1(1011)1(1)1(111)(1)1(011)11()1(1011011)1(110。给定样本Tyyy,,2,1。我们只对模型(f-2)检验零假设01:0同时H对备择假设01:1同时H。当0H为真时，tY有一个单位根，是有常数项的ARIMA(p-1,1,0)过程。当1H为真时，（tX是因果平稳零均值的AR(p)过程），tY是趋势平稳过程。根据模型(f-2)，我们以)1(,),21(,1,,1ptYptYtYtYtYt作为解释变量对tY（Tppt,,2,1）回归，得到p+2个未知参数1,,1,,,0p的最小二乘估计1ˆ,,1ˆ,ˆ,ˆ,0ˆp。详细过程从略。定义T比值统计量为)ˆ(ˆ1ˆˆarV，我们用下标标记第三种情况。补充定理6当01:0同时H为真时，（而我们错误地估计了模型(f-2)），则有TKHGKTHTd23221)6)(2(ˆ,其中.10)(10)(2,10)(),1(,10)(2drrWdrrrWKdrrWHWTdrrWG，而0)0(,0),(WrrW是标准的布朗运动（或称维纳过程）。虽然定理6中的ˆ与定理3（2）中的ˆ定义的背景不同，但它们有相同的渐近分布。我们仍然可以用张世英的教材的附表2中的情况三。第五章条件异方差模型第一节ARCH模型及其性质一、ARCH模型表达◆ARCH模型的定义设我们已经为金融时间序列如收益率建立了一般的回归模型TttTtxty,,2,1。（条件）均值方程这里ty是被解释变量；),,2,1(ktxtxtxTtx是t期的解释变量，它可以包含常数，滞后的内生变量（即ty和（或）t的滞后），和当期和（或）滞后的外生变量（不是ty、t或其滞后的其它变量），Tk),,1(。所以，这个一般模型包括普通线性回归模型，其中),,2,1(ktxtxtxTtx都是当期的外生变量；也包括ARMA(p’,q’)模型tqjjtjpiityity'1'10。进一步，设新息t满足模型qjjtjththtvt120,，（条件）方差方程其中白噪声)1,0(~IIDtv，独立同分布服从均值为零、方差为壹的分布。例如，标准正态分布)1,0(N、标准化学生氏t-分布、广义误差分布（GED）—如果时间允许，以后再介绍后两种分布。并且tv与滞后的扰动)2,1(tt相互独立，还要求0,,1q以确保0th。但是，也可以没有（条件）均值方程，而只有（条件）方差方程。我们称新息序列t是q阶自回归条件异方差ARCH(q)过程，它满足ARCH(q)模型的（条件）方差方程。从ARCH(q)模型的结构我们看到：大的过去的平方的扰动2jt会导致新息t的大的条件方差th，从而t有取绝对值较大的值的倾向。这意味着，在ARCH的框架下，大的“扰动”会倾向于紧接着出现另一个大的“扰动”，这与在金融资产收益率中所观察到的“波动率聚集”现象相一致。◆ARCH过程的平稳性我们现在打开张世英的教材第18-19页复习时间序列的严平稳性、弱平稳性，以及两种平稳性的关系。补充定理1（1）ARCH(q)模型定义了唯一的二阶矩的（即)2(tE）的严平稳过程t，当且仅当110qjj。当110qjj成立时，t的无条件方差TtqjjtVartE,,2,1110)()2(。当11qjj时，t的二阶矩不存在，即)2(tE。（2）设110qjj。进一步设IID的tv有四阶矩，即)4(tvE，且满足条件11)4(0qjjtvE。则t有四阶矩（由严平稳性必与t无关），即)4(tE，进而2t也是弱平稳的，即)2,2cov(ktt是k的一元函数。◆ARCH过程的统计性质记条件期望（到无穷远过去）,1,)(ttEtE。首先复习学习ARMA过程预测时学习过的条件期望的性质。设定理1（1）-（2）的条件都成立，则ARCH(q)过程有下列性质。（1）条件期望为零，即0)(1ttE。进一步对任何ts，0)(tsE。证明.由ARCH过程定义知th是q