控制系统设计课程设计_一阶倒立摆控制器设计

哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）1哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）1哈尔滨工业大学课程设计任务书姓名：院（系）：航天学院控制科学与工程系专业：自动化班号：1104104班任务起至日期：2014年09月09日至2014年09月19日课程设计题目：一阶倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的一阶倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为：M小车质量0.5Kg；m摆杆质量0.2Kg；b小车摩擦系数0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m；I摆杆惯量0.006kg*m*m；T采样时间0.005秒。设计要求：1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。3．设计最优控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移x的稳定时间小于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。工作量：1.建立一阶倒立摆的线性化数学模型；2.倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3.倒立摆系统的状态空间极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）2工作计划安排：第一周：（）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；（2）倒立摆系统的PID控制器的设计、MATLAB仿真；（3）极点配置控制器设计极点配置控制器设计，MATLAB仿真。第二周：实物调试；撰写课程设计论文。同组设计者及分工：史爽；王天剑；左健宇各项工作独立完成指导教师签字___________________年月日教研室主任意见：教研室主任签字___________________年月日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）31.直线一级倒立摆的数学模型1.1.直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下图所示。本系统相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）4注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向受到的合力，可以得到以下方程：𝑀𝑥̈=𝐹−𝑏𝑥̇−𝑁由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22sindNmxldt即2cossinNmxmlml把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：2cossinMmxbxmlmlF为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：2sincosPmgmlml即：sincosPlNlI注意：此方程中力矩的方向，由于𝜃=𝜋+𝜙，cos𝜙=−cos𝜃，sin𝜙=−sin𝜃，故等式前有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：22sincosImlmglmlx1.1.1.微分方程模型设𝜃=𝜋+𝜙，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角𝜙与1（单位是弧度）相比很小，即𝜙≪1时，则可以进行近似处理：cos𝜃=−1，sin𝜃=−𝜙，(𝑑𝜃𝑑𝑡)2=0。为了与控制理论的习惯表达统一，即u一般表示控制量，用u来表示被控对象的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：MPNFbpmgNθIx哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）52MmxbxmluImlmglmlx即微分方程模型。1.1.2.传递函数模型对上述微分方程模型取拉普拉斯变换，得到：{(𝑀+𝑚)𝑋(𝑠)𝑠2+𝑏𝑋(𝑠)𝑠−𝑚𝑙Φ(𝑠)=𝑈(𝑠)(𝐼+𝑚𝑙2)Φ(𝑠)Φ(𝑠)−𝑚𝑔𝑙Φ(𝑠)=𝑚𝑙𝑋(𝑠)𝑠2注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度𝜙，求解上述方程组的第二个方程，可以得到22()()ImlgXssmls或222()()smlsXsImlsmgl如果令𝑣=𝑥̈，则有：22()()smlVsImlsmgl把上式带入方程组的第一个方程组，可以得到：222222()()()()ImlImlggMmssbssmlssUsmlsmls整理后可以得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角𝜙为输入量的传递函数：212432()()()mlssqGsUsbImlMmmglbmglssssqqq其中22qMmImlml1.1.3.状态空间模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可以写成如下形式：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）6XAXBuYCXDu由上述数学分析，可得如下解：2222222222xxImlbImlmglxxuIMmMmlIMmMmlIMmMmlmglMmmlbmlxuIMmMmlIMmMmlIMmMml整理后得到系统的状态空间方程：22222222220100000000100010000010xxImlbImlmglxxIMmMmlIMmMmlIMmMmlumlbmglMmmlIMmMmlIMmMmlIMmMmlxy00xxu由上述推导知：2Imlmglmlx对于质量均匀分布的摆杆有：21=3Iml则：2213mlmlmglmlx哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）7化简得到：𝜙̈=3𝑔4𝑙𝜙+34𝑙𝑥̈设𝑋=[𝑥𝑥̇𝜙𝜙̇]𝑇，𝑢′=𝑥̈，则有：'01000000010001000010000001003344xxxxxxxyuugll实际系统参数如下：M小车质量0.5kgm摆杆质量0.2kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI摆杆惯量0.006kg*m*m代入上述参数，可以得到系统的实际模型：摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.06()0.0240.588ssXss摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数Φ(𝑠)𝑈(𝑠)=5011𝑠2𝑠4+211𝑠3−34311𝑠2−4911𝑠以外界作用力作为输入的系统状态方程：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）801000147200-0551100001503430-011111000000100211511xxxxuxxxyu以小车加速度作为输入系统的系统状态方程：'010000000100010000100000010024.52.5xxxxxxxyuu1.2.系统阶跃响应分析上述推导我们得到了系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：clearA=[0100000000010024.50];B=[0102.5]';C=[10000100];D=[00]';step(A,B,C,D)哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）9可以得到：可以看出，在单位阶跃响应的作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。2.直线一级倒立摆的PID控制器设计本章主要利用PID控制算法对直线一级倒立摆系统进行控制器设计。在设计的过程中，要求熟悉控制参数PK、IK、DK对系统性能的影响，然后按照所要求的控制指标并综合实际响应结果恰当地调整参数。运用MATLAB仿真软件可以快捷地进行系统仿真和参数调整，本章第2节的内容即是运用MATLAB软件对PID控制系统的设计和仿真。第3节中，将对控制系统进行实际的运行和参数调试，以获得一组最佳的PID控制参数。设计目的：学习PID控制器的设计方法，了解控制器各个参数对系统性能的影响，学会根据控制指标要求和实际响应调整PID控制器的参数。设计要求：设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。设计报告要求：020004000600080001000012000To:Out(1)020406080100120140160180050100150To:Out(2)StepResponseTime(seconds)Amplitude哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）10（1）给出系统摆杆角度和小车位置的仿真图形及控制器参数，并对各个参数对系统控制效果的影响进行说明；（2）给出实际控制曲线和控制器参数，对响应的动态和静态指标进行分析。2.1.PID控制分析在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如图3-1所示。系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值𝑟(𝑡)与实际输出值𝑦(𝑡)构成控制偏差𝑒(𝑡)𝑒(𝑡)=𝑟(𝑡)−𝑦(𝑡)将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为𝑢(𝑡)=𝐾𝑃[𝑒(𝑡)+1𝑇𝐼∫𝑒(𝑡)𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝐷𝑑𝑒(𝑡)𝑑𝑡]或写成传递函数的形式𝐺(𝑠)