数学必修二第三章综合检测题

第三章综合检测题时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A[解析]斜率k＝2＋3－24－1＝33，∴倾斜角为30°.2．若三点A(3,1)，B(－2,b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()A．2B．3C．9D．－9[答案]D[解析]由条件知kBC＝kAC，∴b－11－2－8＝11－18－3，∴b＝－9.3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是()A．y＋2＝33(x＋1)B．y－2＝3(x－1)C.3x－3y＋6－3＝0D.3x－y＋2－3＝0[答案]C[解析]由直线方程的点斜式得y－2＝tan30°(x－1)，整理得3x－3y＋6－3＝0.4．直线3x－2y＋5＝0与直线x＋3y＋10＝0的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．异面[答案]A[解析]∵A1B2－A2B1＝3×3－1×(－2)＝11≠0，∴这两条直线相交．5．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为()A．(－2,1)B．(2,1)C．(1，－2)D．(1,2)[答案]A[解析]直线变形为m(x＋2)－(y－1)＝0，故无论m取何值，点(－2,1)都在此直线上，∴选A.6．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限[答案]A[解析]∵ab0，bc0，∴a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，令x＝0得，y＝－cb0，令y＝0得x＝－ca，∵ab0，bc0，∴ab2c0，∴ac0，∴－ca0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A.7．点P(2,5)到直线y＝－3x的距离d等于()A．0B.23＋52C.－23＋52D.－23－52[答案]B[解析]直线方程y＝－3x化为一般式3x＋y＝0，则d＝23＋52.8．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是()A．y＝－2x＋4B．y＝12x＋4C．y＝－2x－83D．y＝12x－83[答案]C[解析]直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－43，即所求直线与x轴交点坐标为(－43，0)．故所求直线方程为y＝－2(x＋43)，即y＝－2x－83.9．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．－1[答案]D[解析]∵两直线互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.10．已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x－y＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，则两条直角边AC，BC的方程是()A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0[答案]B[解析]∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k1，k2应满足k1k2＝－1，排除A、C、D，故选B.11．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是()A．k≥34或k≤－4B．－4≤k≤34C．－34≤k≤4D．以上都不对[答案]A[解析]kPA＝－4，kPB＝34，画图观察可知k≥34或k≤－4.12．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]B[解析]由平面几何知，与A距离为1的点的轨迹是以A为圆心，以1为半径的⊙A，与B距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B，显然⊙A和⊙B相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|等于________．[答案]5[解析]|AB|＝－1＋42＋2－62＝5.14．平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y＋1＝0的距离等于________．[答案]23[解析]直线l2的方程可化为x－y＋13＝0，则d＝|1－13|12＋－12＝23.15．若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为________或________．[答案]x＋y－5＝0x－y＋1＝0[解析]设直线l的方程为xa＋yb＝1，则|a|＝|b|，2a＋3b＝1，解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，即直线l的方程为x5＋y5＝1或x－1＋y1＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)[答案]①⑤[解析]两平行线间的距离为d＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评]本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过点A(－2,3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．[解析]过AB两点的直线方程是y＋13＋1＝x－4－2－4.点斜式为：y＋1＝－23(x－4)斜截式为：y＝－23x＋53截距式为：x52＋y53＝1.18．(12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？[解析](1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2，因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4，因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝38.所以当a＝38时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．[解析](1)设C(x，y)，由AC的中点M在y轴上得，x＋52＝0，解得x＝－5.由BC中点N在x轴上，得3＋y2＝0，∴y＝－3，∴C(－5，－3)(2)由A、C两点坐标得M(0，－52)．由B、C两点坐标得N(1,0)．∴直线MN的方程为x＋y－52＝1.即5x－2y－5＝0.20．(本小题满分12分)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程．[解析]设点A的坐标为(x1，y1)，因为点P是AB中点，则点B坐标为(6－x1，－y1)，因为点A、B分别在直线l1和l2上，有2x1－y1－2＝06－x1－y1＋3＝0解得x1＝113y1＝163由两点式求得直线方程为8x－y－24＝0.21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC边上的高BD所在直线方程；(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；(3)AB边的中线的方程．[解析](1)直线AC的斜率kAC＝－6－44－－1＝－2∴直线BD的斜率kBD＝12，∴直线BD的方程为y＝12(x＋4)，即x－2y＋4＝0(2)直线BC的斜率kBC＝4－0－1－－4＝43∴EF的斜率kEF＝－34线段BC的中点坐标为(－52，2)∴EF的方程为y－2＝－34(x＋52)即6x＋8y－1＝0.(3)AB的中点M(0，－3)，∴直线CM的方程为：y＋34＋3＝x－1，即：7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)．22．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.(1)倾斜角为45°；(2)在x轴上的截距为1.[解析](1)倾斜角为45°，则斜率为1.∴－2m2＋m－3m2－m＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1(2)当y＝0时，x＝4m－12m2＋m－3＝1，解得m＝－12，或m＝2当m＝－12，m＝2时都符合题意，∴m＝－12或2.