常微分方程补充教程

1第一章一般理论1.1预备知识一.Banach空间设X是实数域或复数域F上的线性空间，若X上的实值函数满足下列条件：（1）对任何Xx，0x，并且0x的充要条件是0x；（2）xx，XxF,；（3）yxyx，Xyx,，则称为X上的范数，而称),(X为赋范线性空间.通常我们略去，而把X简称为赋范线性空间.设X是赋范线性空间，对任何Xyx,，令yxyxd),(，则d是X上的距离函数.因此，我们自然地把X看成是度量空间.完备的赋范线性空间称为Banach空间.例如n维向量空间nR,对12,,,nnxxxxR,定义范数1niixx,由导出的距离称为Euclid距离,且称nR为n维Euclid空间,它是一个Banach空间.又如连续函数空间[,]Cab,对()[,]xtCab,定义范数max()atbxxt,则[,]Cab是一个Banach空间,但[,]Cab按范数122(())baxxtdt是一个不完备的赋范线性空间.二.紧集与相对紧集设X为度量空间,A是X中的子集.A为相对紧集(或列紧集)的充要条件是A中任一点列必有收敛子列.A为闭集)(AA的充要条件是A中任何收敛点列必收敛于A中的点.2A为紧集的充要条件是A为相对紧闭集(或自列紧集).在nR中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1.若f是紧集AX上的连续映射,则f在A上必有界,而且可以达到上、下确界.2.紧集上的连续映射必是一致连续的.3.度量空间X上的连续映射必然把列紧集映为列紧集.三.Ascoli-Arzela定理考虑定义在[,]上的实值(m维)向量函数族()Fft,如果存在0M,使对任何fF,都有,,)(tMtf,则称函数族F在[,]上是一致有界的.如果对任给的0,存在0,使对任何Ff和12,[,]tt,只要12tt,就有12()()ftft,则称函数族F在[,]上是等度连续的.这里一致有界是指F中所有f在[,]上有一个共同的界M,等度连续是指0，一个共同的,不仅对每个f在t[,]上一致(即每个f在[,]上一致连续),并且对F中所有f一致.Ascoli-Arzela定理设F=ft是定义在[,]上的一致有界且等度连续的实值(m维)向量函数族,则从F中必可选取一个在[,]上一致收敛的子序列nft.3四.不动点原理设T为度量空间X到它自身的一个映射,如果存在数,10，使对一切,xyX都有),(),(yxdTyTxd，则称T为X上的压缩映射.压缩映射从几何上看就是x和y经T映射后,它们的像的距离缩短了(不超过,dxy的倍,1).压缩映射原理完备的度量空间X中的压缩映射T必有唯一的不动点(就是说,方程xTx有且只有一个解).定理中X的完备性条件不能去掉.例如X0,1,,dxy=xy,T是如下的映射xTx21,x0,1.显然T是X到X的压缩映射,但xTx在0,1中无解,即在X中不存在T的不动点.条件),(TyTxd,dxy,01不能减弱为),(TyTxd,dxy,,xyXxy.例如X=[0,+),X为完备的度量空间,T定义为Txx+11x,x0,.当,0,,xyxy时),(TyTxd11111111xyxyxyxy,dxy，但T在0,中没有不动点.应用上常取X中的一个闭子空间(子空间MX是完备空间的充要条件是M是X的闭子空间).Schauder不动点定理设X是Banach空间,AX是凸闭集,T是AA4的连续映射,并且TA是相对紧集,则T在A中至少有一个不动点.1.2解的局部存在和唯一性定理一.皮卡(Picard)定理考虑初值问题(或Cauchy问题)I,,dxftxdt)(x,即方程E,dxftxdt满足初始条件)()(Jx的解的问题,其中tR，,,,nxfRftx是定义在区域1nGR上的n维实值向量函数,RJ为某一区间.历史上Cauchy在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy问题).1876年,Lipschity减弱了Cauchy定理的条件.1893年,Picard用逐次逼近法在Lipschity条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard)若函数,ftx在空间1nR中某区域R:ta,xb上连续,并且关于x满足Lipschity条件,即0L,使当,tx,Rxx),(时有xxLxtfxtf),(),(，则初值问题（I）在区间ht上存在唯一解)(t，其中),min(Mbah，),(max),(xtfMRxt.证明思路先证明解的存在性（转化——逼近——取极限）转化证明初值问题（I）等价于积分方程)(Idssxsfxt))(,(.这里等价的含义是指)(tx是初值问题（I）的解当且仅当它是积分方程)(I的5连续解.逼近构造逐次逼近序列)(0t，),2,1,0())(,()(1kdsssfttkk.证明序列)(tk在J：ht上有定义，连续且满足btk)(.取极限dsssfttkkkk))(,(lim)(lim1.证明序列)(tk及))(,(ttfk在J上皆一致收敛.于是记)(lim)(ttkk，则)(t在J上连续，并且可通过积分号取极限，从而有dsssftt))(,()(，即)(tx是积分方程)(I的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1.定理2.1的证明仅考虑J：ht的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用][JC表示定义在J上一切连续的n维向量函数所构成的集合.对][JC，定义它的范数为etJtt)(max，其中L为某一常数.容易证明][JC按距离2121),(d成为完备的度量空间.用D表示][JC满足条件bt)()(Jt的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出D是闭子空间，从而是完备的度量空间.令tdsssftT))(,())((，Jt，则T是D到D中的映射.事实上，任取D有bMhdsssftTt|))(,(||))((|，6即当D时，DT.又对D21,有|))](,())(,([||))(())((|2121tdsssfssftTtTdseessLsst|)()(|21dseettLtstJt}|)()({|max21teL21.从而推出21TT21L，10L.所以T是D中的压缩映射，故存在唯一的D，使T，即tdsssft))(,()(，Jt.由于积分方程)(I定义在J上的任何连续解都含于D中，因此方程)(I在J上存在唯一的连续解)(t，它等价于初值问题（I）在J上存在唯一解)(t.推论2.1若函数),(xtf在区域1nGR内连续，且关于x满足局部Lipschity条件[即对任一点G),(，存在它的一个邻域),(V，使),(xtf在),(VG上关于x满足Lipschity条件（注意，相应的Lipschity常数与V有关）]，则对任一点GP),(，都相应地有含点的一个区间PJ，使初值问题（I）在PJ上存在唯一解.推论2.2若函数),(xtf在区域1nGR内连续并存在连续的偏导数,,...,3,2,1,,njixxtfji则仍有推论1的结论成立.例1利用Picard定理证明初值问题22dxtxdt，0)0(x7在区间]21,21[上存在唯一解.证在矩形R：1,1xt上考察所给初值问题.由于22(,)ftxtx及xxf2都在R上连续，故满足Picard定理的条件.这里1ba，2),(max),(xtfMRxt，21),min(Mbah.因此推出该问题在区间21x，即]21,21[上存在唯一解.例2设二元函数),(xtf在带域G：xt,上连续，关于x满足局部Lipschity条件，且0)0,(tf.记)(tx为初值问题)(),,(xxtfdtdx)(的解.试证明：若0，则对一切,t恒有.0)(t证由假设可知，对任给G),(，所述初值问题在区间,上存在唯一解，且0x)(t是方程的解.用反证法证明：当0时，对一切,t恒有0)(t.因为如果不然，必存在1,t，使0)(1t.于是过点1(,0)t就有方程的两个不同的解)(tx及0x通过，这是一个矛盾.例3设在积分方程badssxstKtftx)(),()()(中，)(tf在bta上连续，),(stK在bsabta,上连续.试证：当足够小时，此方程在bta上必存在唯一的连续解.证在],[baC中定义范数x=)(maxtxbta，则],[baC是一个Banach空间.作映射T：badssxstKtftTx)(),()())((，bax,.由假设条件知],[baCTx，T是],[baC到自身的映射.令bsabtastKM,:),(max，8对],[,21baCxx有1212()()()()(,)()()baTxtTxtKtsxsxsds21)(xxabM.若记)(abM，则当)(1abM时就推出1212TxTxxx，10.根据压缩映射原理，T在],[baC中有唯一的不动点，即所给积分方程在bta上有唯一的连续解.例4设三元函数),,(zstK在0,staz上连续，且关于z满足Lipschity条件|||),,(),,(|zzLzstKzstK，而函数gt在0ta上连续，试证积分方程tdssustKtgtu0,,在at0上存在唯一的连续解.证在],0[aC中定义范数tatetuu)(max0，0,uCa，其中L是某一常数，则],0[aC是一个Banach空间，考察],0[aC到它自身的映射T：taCudssustKtgtTu0],0[,,,.任取],0[,21aCuu，有|))](,,())(,,([||))(()(|02121tdssustKsustKtTutTudseesusuLsst|)()(|201dseuuLts021912tLuue，从而推出21TuTu21uuL，10L.根据压缩映射原理，T在],0[aC中有唯一的不动点，即所给积分方程在at0上有唯一的连续解.例5设二元函数xtf,在xat,0上连续，且存在10K，对],0(at及Rxx21,有2121,,xxtKxtfxtf.试证明初值问题xtfx,，0x（2.1）在at0上存在唯一解。证易知问题（2.1）存在唯一解等价于问题ytfy,，00y（2.2）存在唯一解.而问题（2.2）存在唯一解又等价于积分方程tdssusfu0,（2.3