平面桁架有限元分析及程序设计.

第二章平面桁架有限元分析及程序设计§2.1平面桁架单元的离散§2.2平面桁架单元分析§2.3结点平衡与整体刚度矩阵的集成§2.4边界条件的处理§2.5单元内力与支座反力的计算§2.6平面桁架有限元程序设计有限单元法及程序设计解题方法ⅠⅠ方法1：节点法BaFP1ACDaaaFP方法2：截面法静定桁架回顾第二章平面桁架有限元分析及程序设计解题方法：力法和位移法超静定桁架P12341l1l2lPNN21cos2cos142411113414AElN222224AElN第二章平面桁架有限元分析及程序设计如图所示桁架，求各杆轴力。力的平衡条件：位移的协调方程：PN1N1N21杆和3杆位移：2杆位移：超静定桁架41412111411111coscoscosvkvlAElAENNy4242222422222vkvlAElAENNy12111coslAEk2222lAEk第二章平面桁架有限元分析及程序设计1杆轴力竖向分量：2杆轴力：式中：和为杆件的刚度系数；1k2k物理意义：4点产生单位位移，杆端产生的竖向杆端力；由杆件的物理性质和几何性质决定；V4为第4节点竖向位移P12341l1l2lPNNyy212cos)2(coscos2114111kkPkvkNNyPvkk421)2(2142kkPv2124222kkPkvkN第二章平面桁架有限元分析及程序设计超静定桁架代入平衡方程：结构的整体刚度系数位移法求解超静定结构。离散原则：每个结点离散后还是一个结点，每个杆件离散后变成一个单元1结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直杆单元23456⑤①②③④⑥⑦⑧⑨§2.1平面桁架单元的离散9个单元，6个结点123456⑤①②③④⑥⑦⑧⑨78⑩15121413111616个单元，8个结点§2.2.1局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系的建立iE，A，ljyxe■轴：沿单元的杆轴方向；x§2.2平面桁架的单元分析■轴：从轴逆时针旋转90°。yx■原点：以第一个结点为坐标原点；杆端位移：ijeijeijyxeiuju杆端力：iUjU符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。单元右端杆端力：单元左端杆端力：单元应力：单元应变：右结点固定结点位移：luj左结点固定杆的受力分为两种情况：§2.2平面桁架的单元分析luiiiuu0ju0iujjuuiulEEluEEjiiulAEAUjiulAEAUijulAEAUjjulAEAU任意情况（左右结点均有变形）即为以上两种状态的叠加：jijjiiulAEulAEUulAEulAEUjiejijjjiijiijijiuukuukkkkuulAEUU1111jijiuuSuulAEN1111lAES杆端力为：ek式中为单元刚度矩阵(局部坐标系)杆单元轴力为：S式中为单元应力(广义)矩阵；§2.2平面桁架的单元分析1,1ijijuuuAENAAEAEull单元杆端力方程：jijjiiulAEulAEUulAEulAEUjiejijiuukuulAEUU1111jijiuuSuulAEN1100jiVVjiVV000000000000jivvjivvjivvjivv00杆端位移：ijeijeiuju杆端力：iUjU0jivv0jiVV单元轴力：§2.2平面桁架的单元分析杆端位移和杆端力符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。杆端力：iujujUjVjviViviUxyNNiuiviUiVjujUjVjv§2.2平面桁架的单元分析§2.2.2整体坐标系下的单元刚度矩阵若局部坐标系与整体坐标系重合，则整体坐标系下的单元刚度矩阵与局部坐标下的单元刚度矩阵相同。若局部坐标系与整体坐标系不重合，如下图所示：杆端位移：杆端力：杆端位移：i结点：j结点：iidxusincos222)()(ijijyyxxl))(())((ijijijijdydyyydxdxxxldl)()()()(ijijijijdydylyydxdxlxxdliidyvjjdxujjdyv)()(jijivvluulldl)]()([jijivvuulAEEAN§2.2平面桁架的单元分析设杆件的长度为l，则：两边微分：由于杆件的变形产生位移：因此，杆件应变为：杆件轴力为：符号：杆件轴力以拉为正，压为负。)()(ijijdydydxdxNNUicoseejjiijjiiekvuvulAEVUVUF22222222NNVisinNNUjcosNNVjsin杆件的结点力为：因此，杆件结点力向量为：ek式中是整体坐标系下的单元刚度矩阵；§2.2平面桁架的单元分析1,11,1iijjiijjuvAENuvluvAEulvjijjjiijiijiekkkkFFFiiiVUFjjjVUFiiivujjjvu22lAEkii22lAEkjjjjiijjiievuvulAEVUVUF22222222写成分块矩阵形式：式中：§2.2平面桁架的单元分析lAEScossin22lAEkkjiij（1）单元刚度系数kij的意义j自由度(结点)产生的单位杆端位移引起的i自由度(结点)的杆端力（2）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理式中：杆件单元的应力矩阵为：单元刚度矩阵的性质§2.2平面桁架的单元分析（3）单元刚度矩阵一般是不可逆的§2.2.3单元坐标转换矩阵iujujUjVjviViviUxyjjiijjiievuvulAEVUVUF0000010100000101§2.2平面桁架的单元分析取任意杆件,建立如图所示的局部坐标系：杆端力：iuiviUiVjujUjVjv杆端位移：§2.2.3单元坐标转换矩阵iujujUjVjviViviUxyxyiViViUxyxyiUsincosiiiVUUcossiniiiVUVcossinsincosijjjjjVUVVUU§2.2平面桁架的单元分析杆端力：iuiviUiVjujUjVjv杆端位移：在上图中,建立如图所示的整体坐标系：以i结点为例：cosiUsiniVsiniUcosiV同理，对于j结点：jjiijjiiVUVUVUVU00000000eeFTF00000000TcossinTTTI1TTT§2.2平面桁架的单元分析写成矩阵形式：因此：其中，[T]为转换矩阵：转换矩阵的性质转换矩阵是正交矩阵；00000000000001010000010100000000lAEkeeeTeeeeeeFTFkkTeeeeTeeekTkTTkTF1TkTkeTe22222222lAE同理，位移也存在转换关系：代入局部坐标系下的刚度方程：§2.2平面桁架的单元分析与利用微分得到的单元在总体坐标下的刚度方程相同xyF1、对总体结点位移和单元进行编码；2、单元局部坐标系下的刚度矩阵;①②③123例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求三个单元在整体坐标系下的刚度矩阵。③②①kkk212300232100002123002321①T§2.2平面桁架的单元分析0000010100000101lAE3、单元①整体坐标系分析:o6021cos23sin解：单元①整体坐标系下的刚度矩阵为:①①①①TkTkT212300232100002123002321③T②②kk③③③③TkTkT33333131333331314lAE4、单元②整体坐标系分析:o0IT5、单元③整体坐标系分析:33333131333331314lAEo12021cos23sinxyF①②③123例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求结构的刚度矩阵。§2.3结点平衡与整体刚度矩阵的集成33333131333331314①lAEk0000010100000101②lAEk33333131333331314③lAEk①①①①jjjiijiikkkk②②②②jjjiijiikkkk③③③③jjjiijiikkkk1、单元整体坐标系下刚度矩阵分块解：§2.3.1结点的平衡方程§2.3结点平衡与整体刚度矩阵的集成①①①①①jjjijijkkF③③③③③jjjijijkkF01③①PFFjjxyF1①ij①jF①iF①jF③jF③iF③jF③ij2、结点1的平衡方程：1③①PFFjj结点1的受力状态为（如右图）:结点1的平衡条件为:由单元③的刚度方程：由单元①的刚度方程：1①2①jjjikk1③3③jjjikk§2.3结点平衡与整体刚度矩阵的集成11③3③1①2①Pkkkkjjjijjji13③2①1③①Pkkkkjijijjjj代入结点1的平衡条件:3、结点2