初中数学竞赛专题选讲(初三7)待定系数法

初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1.多项式恒等的定义：设f(x)和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9,5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).求：①a+b+c；②a－b+c.解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn那么a0=b0，a1=b1，……，an－1=bn－1，an=bn.上例中又解：∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.∴a=2,b=－2,c=－4.∴a+b+c＝－4，a－b+c＝0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例1.已知：23)2)(3(22xCxBxAxxxxx求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），当x=0时，2＝－6A.∴A＝－31.当x=3时，8＝15B.∴B＝158.当x=－2时，8＝10C.∴C＝54.本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2.把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a+bx2－2bx+b+cx－c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，得2223131dcbacbabaa解这个方程组，得4321dcba∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.本题也可用换元法：设x－1=y,那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y的多项式，最后再把y换成x－1.例3.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组mbmma213442；或mbmma213442.解得172174172174612612babababa－或或或.例4.推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3.原方程化为x3+02adxacxab.∵x1,x2,x3是方程的三个根.∴x3+adxacxab2(x－x1)(x－x2)(x－x3).把右边展开，合并同类项，得x3+adxacxab2=x3－(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=－ab　　，x1x2+x1x3+x2x3＝ac，x1x2x3＝－ad.例5.已知：x3+px+q能被（x－a）2整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.③②①qbapabaab22202由①得b=2a，代入②和③得3223aqap∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2=4×（－27a6）+27×（4a6）=0.（证毕）.例6.已知：f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2＋25的因式，也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f(1)的值.解：∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它们的和、差、倍也能被f(x)整除.为了消去四次项，设g(x)－q(x)＝kf(x),(k为正整数).即14x2－28x+70＝k(x2+bx+c)14（x2－2x+5）＝k(x2+bx+c)∴k=14,b=－2,c=5.即f(x)=x2－2x+5.∴f(1)=4.例7.用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a,b,c是待定系数.)当x=1,y=0时，得a=1；当x=1,y=1时，得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16当x=－1,y=2时，得31a－14b+4c=1.得方程组141431161cbacbaa解方程组，得1051cba∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.三、练习511.已知4286322xbxaxxx　.求a,b的值.2.已知：2)1(1)2()1(534222xCxBxAxxxx.求：A，B，C的值.3.已知：x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4.已知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求证：ad=bc.5.已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3)=b(x－1)(x－2)(x－3)=c(x－1)(x+1)(x－3)=d(x－1)(x+1)(x－2).求：a+b+c+d的值.6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用x－2的各次幂表示3x3－10x2+13.8.k取什么值时，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解为两个一次因式..9.分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；②x4+1987x2+1986x+1987.10.求下列展开式：①(x+y)6；②(a+b+c)3.11.多项式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的结果是()(A)(x+y)(y－z)(x－z).(B)(x+y)(y+z)(x－z).(C)(x－y)(y－z)(x+z).(D)(x－y)(y+z)(x+z).12.已知(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.则S等于()(A)(x－2)4.(B)(x－1)4.(C)x4.(D)(x+1)4.(1988年泉州市初二数学双基赛题)13．已知：4310252323xxxcbxxax的值是恒为常数求：a,b,c的值.练习题参考答案1.a=－27,b=－2112.A=1,B=2,C=33.±(x2－3x+2)4.由(x2+p)(ax+pd)…5.17.3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－38.先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9.①(x+y+1)(x+2y+3)②(x2+x+1)(x2－x+1987)10.①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11.(A)12.(C)13.a=1,b=1.5,c=－2.