动能定理的应用

目标认知学习目标1．进一步深化对动能定理的理解。2．会用动能定理求解变力做功问题。3．会用动能定理求解单物体或多物体单过程问题以及与其他运动形式的结合问题。4．知道用动能定理解题的一般步骤。学习重点、难点1．动能定理解决实际问题2．知道用动能定理解题的一般步骤。知识要点梳理知识点一——动能定理的推导要点诠释：1．推导过程一个运动物体，在有外力对它做功时，动能会发生变化。设一个质量为m的物体，原来的速度是v1，动能是，在与运动方向相同的恒定外力F的作用下，发生一段位移，速度增加到v2，动能增加到。在这一过程中外力F对物体所做的功。根据牛顿第二定律F=ma和运动学公式得到所以或2．关于公式的几点说明（1）上面我们设外力方向与运动方向相同，导出了关系式，这时外力做正功，动能增加。外力方向与运动方向相反时，上式同样适用，这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值；（2）外力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功。因此，对这种情形，也可以说物体克服阻力所做的功等于动能的减少；（3）如果物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。3．动能定理的实质动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。动能定理的实质是反映其它形式的能通过做功而和动能转化之间的关系，只不过在这里其它形式的能并不一定出现，而是以各种性质的力所做的机械功(等式左边)的形式表现出来而已。知识点二——对动能定理的进一步理解要点诠释：1．动能定理的计算式为标量式，计算外力对物体做的总功时，应明确各个力所做功的正负，然后求其所有外力做功的代数和；求动能变化时，应明确动能没有负值，动能的变化为末动能减去初动能。2．位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。3．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做的功与物体动能的变化间的三个关系：（1）数量相等：即通过计算物体动能的变化来求合力的功，进而求得某一力的功。（2）单位相同：都是焦耳。（3）因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。4．动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于分段过程的全过程。5．动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用。知识点三——应用动能定理的基本步骤要点诠释：1．选取研究对象，明确它的运动过程；2．分析研究对象的受力情况和各力的做功情况；受哪些力各力是否做功做正功还是负功做多少功然后求解各个外力做功的代数和3．明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；4．列出动能定理的方程及其他必要的解题方程，进行求解。知识点四——应用动能定理时应注意的问题要点诠释：1．有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，因此在求解物体运动过程中外力的总功时，要注意把物体的受力与运动结合分析。2．动能定理是计算物体位移和速率的简捷公式，当题目中涉及到位移时可优先考虑动能定理。3．若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，用动能定理解题时可以分段处理，也可取全过程直接列式。经典例题透析类型一——用动能定理求变力做功1、如图所示，质量为m=2kg的小球，从半径R=0.5m的半圆形槽的边缘A点沿内表面开始下滑，到达最低点B的速度v=2m/s。求在弧AB段阻力对物体所做的功Wf。（取）思路点拨：物体在弧AB段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。在这一过程中，可用动能定理。解析：重力的功。由动能定理有：所以总结升华：动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。力做功时可以是连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。举一反三【变式】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力为F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体做功的大小是：（）A．FR/4B．3FR/4C．5FR/2D．零解析：设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有，当绳的拉力为时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有由动能定理：故答案为A。答案：A类型二——动能定理单体多过程问题2、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面间的动摩擦因数μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长。求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s。思路点拨：由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，物体虽经多次往复运动，最终将停止在挡板处。过程中只有重力与摩擦力对物体做功。解析：摩擦力一直做负功，其绝对值等于摩擦力与路程的乘积，由动能定理得解得总结升华：动能定理只涉及初末状态而不涉及过程中的每一个细节，因此对于作往复运动的物体运用动能定理解题往往比较简便，本题也可用牛顿运动定律结合运动学公式一步步求解，但十分繁琐。举一反三【变式1】如图所示质量为m的物体置于光滑水平面，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F作用下，以恒定速率v0竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角α=45°的过程中，绳中张力对物体做的功为________。解析：当绳与水平方向夹角α=45°时，物体的速度为选物体为研究对象，研究物体由静止开始到绳与水平方向夹角为α的过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加。即【变式2】在水平恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高为h2的B处，若在A处的速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离为多大？思路点拨：用牛顿定律遇到困难，使用动能定理。解析：A到B过程中，物体受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三个力做功分别为Fs、0和-mg（h2-h1），所以动能定理写为：总结升华：从此例可以看出，以我们现在的知识水平，牛顿定律无能为力的问题，动能定理可以很方便地解决，其关键就在于动能定理不计运动过程中瞬时细节。举一反三【变式3】质量为m=1.5kg的物块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从水平面上A点由静止开始运动，运动一段距离后撤去该力，物块继续滑行t=2.0s停止在B点。已知A、B两点间的距离为S=5.0m，物块与水平面间的摩擦因数μ=0.2，求恒力F。（）思路点拨：本题用运动学和动能定理求解。解析：设撤去力F前物块位移为S1，撤去F时物块的速度为v。物块所受的摩擦力，由运动学公式可得：即S1=1m对整个过程用动能定理：总结升华：本题可以有多种解法，运用动能定理较为简单。类型三——动能定理多体单过程问题3、如图所示，用细绳连接的A、B两物体质量相等，A位于倾角为30°的斜面上，细绳跨过定滑轮后使A、B均保持静止，然后释放，设A与斜面间的滑动摩擦力为A受重力的0.3倍，不计滑轮质量和摩擦，求B下降1m时的速度多大。解析：解法一：对A使用动能定理：对B使用动能定理：得解法二：将A、B看成一整体。（因二者速度、加速度大小均一样），此时拉力T为内力，求外力做功时不计，则动能定理写为：二式联立解得：v=1.4m／s总结升华：上述两种解法结论是一致的，而方法二中受力体的选择使解题过程简化，因而在使用动能定理时要适当选取研究对象。举一反三【变式】一辆汽车通过图中的细绳提起井中质量为m的物体。开始时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向擦A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计。解析：本题中汽车和重物构成连接体，但解题通常取重物为研究对象，根据动能定理列方程：（1）（2）由于左边绳端和车有相同的水平速度v，v可分解成沿绳子方向的两个分速度，（3）将（3）式和（2）式代入（1）式可得：类型四——动能定理与圆周、平抛运动的结合4、如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m＝1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ＝0.5，A点离B点所在水平面的高度h＝1.2m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的能量损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8（1）若圆盘半径R＝0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？（2）求滑块到达B点时的速度。（3）从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离。解析：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力。根据牛顿第二定律，可得：μmg＝mω2R代入数据解得：（2）滑块在A点时的速度：vA＝ωR＝1m/s从A到B的运动过程由动能定理得：mgh－μmgcos53°×h/sin53°＝可得滑块在B点时的速度：vB＝4m/s（3）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a1＝g(sin37°＋μcos37°)＝10m/s2返回时的加速度大小：a2＝g(sin37°－μcos37°)＝2m/s2BC间的距离：举一反三【变式】如图所示，一固定的锲形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接。A的质量为4kg，B的质量为1kg。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间动摩擦因数为。设当A沿斜面下滑2m距离后，细线突然断了，取，试求：（1）绳断瞬间物块A的速率；（2）物块B上升的最大高度。解析：（1）由动能定理得：m/s=2m/s（2）B以2m/s的初速度做竖直上抛运动，设继续上升的高度为h，则：物块B上升的最大高度H=h+s=(0.2+2)m=2.2m