全国2011年1月高等教育线性代数自考试题

1全国2011年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量，的内积，E表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=()A．44B．45C．46D．472．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=()A．A+EB．A-EC．-A-ED．-A+E3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=()A．A-1CB-1B．CA-1B-1C．B-1A-1CD．CB-1A-14．设A是s×n矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是()A．ATA是s×s对称矩阵B．ATA=AATC．(ATA)T=AATD．AAT是s×s对称矩阵5．设1，2，3，4，5是四维向量，则()A．l，2，3，4，5一定线性无关B．l，2，3，4，5一定线性相关C．5一定可以由1，2，3，4线性表出D．1一定可以由2，3，4，5线性表出6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则()2A．A=0B．A=EC．秩(A)=nD．0秩(A)n7．设矩阵A与B相似，则以下结论不正确的是()A．秩(A)=秩(B)B．A与B等价C．A与B有相同的特征值D．A与B的特征向量一定相同8．设为矩阵A=的三个特征值，则=()A．10B．20C．24D．309．二次型f(x1，x2，x3)=的秩为()A．1B．2C．3D．410．设A，B是正定矩阵，则()A．AB一定是正定矩阵B．A+B一定是正定矩阵C．(AB)T一定是正定矩阵D．A-B一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。311．设A=，k为正整数，则Ak=．12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=__________．13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________.14．设向量=(6,-2,0,4),=（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=____________.15．实数向量空间V={(x1,x2,…,xn)|3x1+x2+…+xn=0}的维数是_______．16．矩阵A=的秩=___________.17．设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_________.18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________.19．设P为正交矩阵，若（Px,Py）=8,则（x,y）=_________.20．设f(x1，x2，x3)=是正定二次型，则t满足_____.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式22．判断矩阵A=是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．23．求向量组=(1，2，-1，-2),=(2，5，-6，-5),=(3，1，1，1),=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．24．求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解．25．求矩阵A=的特征值和特征向量．26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．f(x1，x2，x3)=4四、证明题(本大题共1小题，6分)27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．