信号与系统第3章系统的时域分析(5学时).

第3章系统的时域分析3.1线性时不变系统的描述及特点3.2连续时间LTI系统的响应3.3连续系统的冲激响应3.4卷积积分3.5离散时间系统的响应3.6离散系统的单位脉冲响应3.7序列卷积和3.8冲激响应表示的系统特性3.1线性时不变系统的描述及特性系统分析两大主要任务P61：一、用数学语言描述待分析系统，即建立数学模型；二、分析信号通过系统时产生的响应；1、连续时间系统的数学描述f(t)R1LCR2i1(t)i2(t)+y(t)+122112d(t)1()2()f()d(t)1()()f()tiLidRittdtCiLRitittdt整理后，得到输入f(t)与输出y(t)的关系式如下22111（+）(1)1212dy(t)dy(t)df(t)y(t)2dtdtdtLLRRRRCRC3.1线性时不变系统的描述及特性()(1)()(1)1010()()()()()()nnmmnmmytaytaytbxtbxtbxt其中，ai、bj为各项系数。结论：一个n阶连续系统可以用n阶线性微分方程描述，即3.1线性时不变系统的描述及特性[]（1+r）[1]f[]ykykk3.1线性时不变系统的描述及特性2、离散时间系统的数学描述某人从当月开始每月初存款f[k]元，月息r=0.15%。设第k月初的总存款数为y[k]元。试描述f[k]与y[k]关系的方程式。k月初的总存款包括：①k月初之前的总存款数y[k-1]②k月初存入的款数f[k]③k月初之前的利息ry[k-1][]-1.0015[1]f[]ykykk1010[+]a[+1]a[]f[+][+1][]nmmyknyknykbkmbfkmbfk其中，ai、bj为各项系数。3.1线性时不变系统的描述及特性结论：一个n阶离散时间系统可以用n阶差分方程描述，即101[]a[1]a[]f[][1][]nmykykyknbkbfkbfkm或注意：差分方程有前向差分与后向差分两种描述方式，无本质差异，但一般采用后向差分方程。离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述][][00jkxbikyajmjini3.1线性时不变系统的描述及特性既具有线性特性又具有时不变特性的系统为线性时不变系统，简称LTI系统。3、线性时不变系统（LTI）的数学描述()(1)()(1)1010()()()()()()nnmmnmmytaytaytbxtbxtbxtai、bj为常数连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述ai、bj为常数1）微分特性与差分特性：若T{x(t)}=y(t)则ttyttxTd)(d}d)(d{若T{x[k]}=y[k]则T{x[k]-x[k-1]}=y[k]-y[k-1]2）积分特性与求和特性：若T{x(t)}=y(t)则d)(}d)({yxTtt若T{x[k]}=y[k]则][]}[{nynxTknkn4、线性时不变系统（LTI）的特性3.1线性时不变系统的描述及特性[例]已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在x2(t)激励下产生的响应y2(t)。解：t011x1(t)e2tu(t)y1(t)t011x2(t)t011从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系d)()1()(11)1(12xtxtxt根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系d)()(112ytyt)1()e1(5.0)1(2tut经典时域分析方法零输入响应+零状态响应3.2连续时间LTI系统的响应一、经典时域分析方法经典求解法式一种数学求解方法。微分方程的全解即系统的完全响应,是由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成。)()()(phtytyty一、经典时域分析方法()6'()8()()ytytytxt()6'()8()0ytytyt经典时域法求解步骤：1、求齐次解4221ss，特征根：ttKKty3221hee)(齐次解yh(t)0862ss特征方程：微分方程对应的齐次方程的解称为齐次解yh(t)，形式为指数函数，指数由齐次方程的特征根确定。11estK一、经典时域分析方法齐次解yh(t)的形式总结：(1)特征根是不等实根s1,s2,,sntsntstsnKKKtyeee)(2121h(2)特征根是等实根s1=s2==sn=stsnntststKtKKty121heee)((3)特征根是成对共轭复根)sincos(e)sincos(e)(11211h1tKtKtKtKtyinintti2/,jnisiii一、经典时域分析方法特解yp(t)的形式与微分方程右边激励信号的形式有关。将特解与输入信号代入原微分方程，求出待定系数即得特解。经典时域法求解步骤：2、求特解常用激励信号对应的特解形式输入信号特解KAKtA+BtKeat(特征根sa)AeatKeat(特征根s=a)AteatKsin0t或Kcos0tAsin0t+Bcos0tKeatsin0t或Keatcos0tAeatsin0t+Beatcos0t[例]已知系统的微分方程如下，输入信号x(t)=etu(t)，求系统的特解。0),()(8)('6)(ttxtytyty解:由输入x(t)的形式，设方程的特解为将特解与输入信号带入原微分方程得：yp(t)=Cett0-t-t-t-t68,0CeCeCeet解得常数C=1/31)此特解：3(因tpyte23h12()=()+()ee1因此全解：+3tpttytyyKKett一、经典时域分析方法经典时域法求解步骤：3、根据初始条件，求未知系数解得A=5/2，B=11/6tttBAtytytye31ee)()()(42ph1(0)131'(0)2423yAByAB0,e31e611e25)(42ttyttt假设已知初始条件y(0)=1,y’(0)=2,在刚才基础上求系统的完全响应y(t)。[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttxtytyty0,e31e611e25)(42ttytttttKKty3221hee)(1()3tpyte总结：经典时域法求解步骤1、求齐次解；2、求特解；3、根据已知条件求未知系数；注意：一些基本概念（P70）1、固有响应（齐次解）；2、强迫响应（特解）；3、暂态响应和稳态响应；1)若初始条件不变，输入信号x(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)是否发生变化？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y‘(0)=1,则系统的完全响应y(t)是否发生变化？讨论若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。经典法不足之处二、卷积法卷积法是将系统的全响应分解为零输入响应和零状态响应求解的方法，由于求解过程中一般会用到卷积运算，因此得名。)(*)()(zithtxtyzizs全响应：()()()ytytyt1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。zi()yt2.系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应。zs()yt二、卷积法1、零输入响应的求解0)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatynnn数学模型:求解方法：（等同于齐次微分方程的解）（1）由特征根确定零输入响应的形式；（2）由初始条件确定待定系数；解:系统的特征方程为[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y'(t)+6y(t)=4x(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。0652ss3221ss，ttKKty3221ziee)(0,e5e6)(32zittytt系统的特征根为y(0)=yzi(0)=K1+K2=1y'(0)=y'zi(0)=2K13K2=3解得K1=6，K2=5[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+4y'(t)+4y(t)=2x'(t)+3x(t),t0系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为0442ss221sstttKKty2221ziee)(0,e3e2)(22zitttytt系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yzi(0)=K1=1;y'(0)=y'zi(0)=2K1+K2=3解得K1=2,K2=3[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为：y(t)+2y'(t)+5y(t)=4x'(t)+3x(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为0522ssj21j2121ss，)2sin2cose)(21zitKtKtyt（y(0)=yzi(0)=K1=1y'(0)=y'zi(0)=K1+2K2=3解得K1=1，K2=20),2sin22(cose)(zittttyt二、卷积法2、零状态响应的求解——卷积法基本思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合)()(tht2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应——冲激响应3)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs(t)。d)()()(txtxd)()()(zsthxty)()(d)()()(zsthtxthxty[例]已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2x(t)系统的冲激响应h(t)=2e3tu(t),x(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yzs(t)。d)()()()()(zsthxthtxtyd)(e2)(3=)(3tuut000d2e3=0)3(tttt解：000)e1(2=3ttt)()e12(=3tut3.3连续系统的冲激响应连续系统的冲激响应定义冲激平衡法求系统的冲激响应一、连续系统的冲激响应定义在系统初始状态为零的条件下，以冲激信号(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足)()(')()()()(')()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn一、连续系统的冲激响应定义当时,方程右边等于0，转换为齐次方程求解。+0t()(1)110()()'()()=0nnnhtahtahtaht（1）nm时)()e()(1tuKthnitsii（2）nm时,)()()e()()(01tAtuKthjjnmjnitsii二、冲激平衡法求系统的冲激响应将齐次方程的解h(t)代入原方程，为保证原方程动态恒等，方程两边所具有的冲激信号及其高阶导数必须相等，以此规则确定冲激响应h(t)中待定系数的方法称为冲激平衡法。0),(2)(3d)(d