初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（PierreLaurentWantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（FerdinandLindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家UnderwoodDudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得ABBCCA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？nmBAGFEDOC2C1nmBA【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.【解析】⑴作两条公路夹角的平分线OD或OE；⑵作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点1C，2C就是发射塔的位置.【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3yx上求一点P，使AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？P3P2P1AOyxy=x+3【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在3yx上；二是AOP必须是等腰三角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OAOP时，以O点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点1P、2P；当OAAP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当POPA时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点3P，所以总计这样的P点有3个.【例3】设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与O⊙及'O⊙外切.R'RO'OrrDCM2M1BArOO'RR'r【分析】设M⊙是符合条件的圆，即其半径为r，并与O⊙及'O⊙外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以O为圆心以Rr为半径的圆上，又在以'O为圆心以'Rr为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O⊙与'O⊙相距为b，当2rb时，该题无解，当2rb有唯一解；当2rb时，有两解.【解析】以当O⊙与'O⊙相距为b，2rb时为例：⑴作线段OARr，''OBRr.⑵分别以O，'O为圆心，以Rr，'Rr为半径作圆，两圆交于12,MM两点.⑶连接1OM，2OM，分别交以R为半径的O⊙于D、C两点.⑷分别以12MM，为圆心，以r为半径作圆.∴12,MM⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r()rR的圆，使其与O⊙内切，与'O⊙外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算出其内接正方形边长为2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为3的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是2.）⑷以2的长度等分圆周就可以啦！【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC的面积.【分析】设ABC的底边长为a，高为h，关键是在于求出正方形的边长x，使得212xah，所以x是12a与h的比例中项.【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h，求作：正方形DEFG，使得：ABCDEFGSS正方形haDCBAOGFEDNM作法：⑴作线段12MDa；⑵在MD的延长线上取一点N，使得DNh；⑶取MN中点O，以O为圆心，OM为半径作O⊙；⑷过D作DEMN，交O⊙于E，⑸以DE为一边作正方形DEFG.正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线l上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.arOlBAM2M1lOr【分析】先利用代数方法求出点M与圆心O的距离d，再以O为圆心，d为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】⑴作RtOAB，使得：90A，OAr，ABa.⑵以O为圆心，OB为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点1M，2M.1M，2M即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】已知：直线a、b、c，且abc∥∥.求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.cbaD'DCBAcba【分析】假设ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作ADb于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于'ACD的位置，此时点'D的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作60BAC，B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】作法：⑴在直线a上取一点A，过A作ADb于点D；⑵以AD为一边作正三角形'ADD；⑶过'D作''DCAD，交直线c于C；⑷以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B(使B与'D在AC异侧).⑸连接AB、AC、BC得ABC.ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为AOB角平分线OM上一点.求作：PCD，使得90P，PCPD，且C在OA上，D在OB上.PMOBAlD'C'M'ECDPMOBA【解析】⑴过P作PEOB于E.⑵过P作直线lOB∥;⑶在直线l上取一点M，使得PMPE(或'PMPE)；⑷过M(或'M)作MCl（或'MCl），交OA于C(或'C)点；⑸连接PC(或'PC)，过P作PDPC(或''PDPC)交OB于D（或'D）点.连接,PDCD(或',''PDCD).则PCD(或''PCD)即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】已知：一锐角ABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.CBAG'F'E'D'GFEDCBA【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作出与正方形DEFG位似的正方形''''DEFG，然后利用位似变换将正方形''''DEFG放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴在AB边上任取一点'G，过'G作''GDBC于'D⑵以''GD为一边作正方形''''DEFG，且使'E在'BD的延长线上.⑶作直线'BF交AC于F.⑷过F分别作''FGFG∥交AB于G；作''FEFE∥交BC于E.⑸过G作''GDGD∥交BC于D.则四边形DEFG即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC的底边BC上一定点，P，求作一直线l，使其平分ABC的面积.【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，在AMC中先割去AMP，再补上ANP.只要NMAP∥，则AMP和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了ABC的面积.NMPCBAlCBAP【解析】作法：⑴取BC中点M，连接,AMAP;⑵过M作MNAP∥交AB于N；⑶过P、N作直线l.直线l即为所求.【例11】如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴请你作一条直线l，使直线l平分五边形ABCDE的面积；⑵这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FEDCBAlO'ONMFEDCBARQPlO'OFEDCBA【解析】⑴取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点'O，则经过点O，'O的直线l即为所求