高中数学必修五教案全集(48份)-人教课标版6(实用教案)

解三角形的进一步讨论从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：解斜三角形时可用的定理和公式适用类型备注余弦定理（）已知三边（）已知两边及其夹角类型（）（）有解时只有一解正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（）已知两角和一边（）已知两边及其中一边的对角类型（）在有解时只有一解，类型（）可有两解、一解或无解三角形面积公式AbcSsin21Bacsin21Cabsin21（）已知两边及其夹角同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．教学重点.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；.三角形各种形状的判定方法；.三角形面积定理的应用．教学难点.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作．．正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin；余弦定理，bcacbA2cos222,cabacB2cos222,abcbaC2cos222第二张:例、例(记作．．)[例]已知△,为角的平分线,求证:∶＝∶[例]在△中,求证第三张:例(记作．．[例]在△中,试判断三角形的形状三维目标一、知识与技能.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；.三角形各种形状的判定方法；.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出幻灯片).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用推进新课思考：在△中，已知，°，解三角形．（由学生阅读课本第页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例】在△中，已知，讨论三角形解的情况师分析：先由aAbBsinsin可进一步求出；则°(),从而ACacsinsin一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．.当为钝角或直角时，必须＞才能有且只有一解；否则无解．.当为锐角时，如果≥，那么只有一解；如果＜，那么可以分下面三种情况来讨论：（）若＞，则有两解；（）若，则只有一解；（）若＜，则无解．（以上解答过程详见课本第到第页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当为锐角且＜＜时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（）为直角或钝角（）为锐角【例】在△中，已知，判断△的类型．分析：由余弦定理可知是直角△是直角三角形，＞是钝角△是钝角三角形，＜是锐角△是锐角三角形。（注意：是锐角△是锐角三角形）解：∵＞,即＞，∴△是钝角三角形．[教师精讲．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把、、分别用、、来代替．.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．（）已知三边，求三个角．（）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求或或或．师下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片［例题剖析］【例】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角的平分线将△分成了两个三角形：△与△,故要证结论成立,可证明它的等价形式:∶＝∶,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCsinsin,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论证明:在△内,利用正弦定理得ABDADADBABsinsin,即ABDADBADABsinsin在△内,利用正弦定理得DBCDCBDCBCsinsin,即DBCBDCDCBCsinsin∵是角的平分线,∴∠∠∴∠∠∵∠∠∴∠(°∠)∠∴DCBCDBCBDCABDADBADABsinsinsinsin∴DCADBCAB评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用［例题剖析］【例】分析:此题所证结论包含关于△的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形证明一:(化为三角函数()··()···(所以原式得证证明二:(化为边的等式左边··bcacbRabacbcaRba22222222222222CabRcabcRcabacbbcaRcabsin22222)(22222222[教师精讲由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式·,正弦两角和公式()··;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题【例】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析.解法一:利用余弦定理将角化为边∵,∴acbcaabcacbb22222222.∴.∴.∴故此三角形是等腰三角形解法二:利用正弦定理将边转化为角∵,又，,∴∴.∴().∵＜＜π,∴π＜＜∴,即故此三角形是等腰三角形评述:()在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理()解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式两端同除以,得,再由＜＜π,而得课堂小结通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能（）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（）三角形形状的判定方法布置作业.在△中,已知)sin()sin(sinsinCBBACA,求证:、、成等差数列证明:由已知得·2cos12cos12cos1222BAB∴由正弦定理,可得即、、成等差数列.在△中()求证:△为等腰三角形;(提示()设为△外接圆的直径与边的交点,且＝,求∶的值答案:()略；()∶板书设计解三角形的进一步讨论一、三角形形状判定二、三角形问题证明思路三、学生练习.等腰三角形＝或向边转化利用正、余弦定理四、布置作业＝.向角转化利用正弦定理.直角三角形或.钝角三角形＞人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实在可以成就大事业珍惜时间可以使生命变的更有价值时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦得到时间，就是得到一切用经济学的眼光来看，时间就是一种财富时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！”不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向