【精选试题】高中数学专题名师精解“立体几何”题

(9)专题精解“立体几何”题1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：①m＇⊥n＇m⊥n;②m⊥nm＇⊥n＇③m＇与n＇相交m与n相交或重合；④m＇与n＇平行m与n平行或重合.其中不正确．．．的命题个数是A.1B.2C.3D.4【解析】D以教室空间为长方体模型，m＇,n＇作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知m＇⊥n＇是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m＇,n＇相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.【说明】抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.2.（2007年北京卷第3题）平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a，a∥βC.存在两条平行直线a,b,a，b,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a，b,a∥β,b∥α【解析】D以考场的天花板和一个墙面作为α，β，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A．22B．1C．212D．2【解析】D平面11AADD截球所得圆面的半径,1112,EF22ADREFAADD面，被球O截得的线段为圆面的直径,22.ddr故选D.【说明】相关知识点：球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正考场精彩（9）方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.4.(2007年全国Ⅰ第7题)如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A．15B．25C．35D．45【解析】D连接CD1，则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=1，54552255cos1CAD.【说明】找出异面直线所成的角，是问题的关键.5.（2007年浙江卷第6题）若P是两条异面直线lm，外的任意一点，则（）Ａ．过点P有且仅有一条直线与lm，都平行Ｂ．过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直Ｃ．过点P有且仅有一条直线与lm，都相交Ｄ．过点P有且仅有一条直线与lm，都异面【解析】B对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.【说明】空间线线关系，找空间模型.6.（2007年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解析】D正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同.【说明】空间想象力的发挥.7.(2007年江苏卷第4题)已知两条直线mn，，两个平面，．给出下面四个命题：AB1B1A1D1CCD①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥①mn∥，mn⊥⊥；②∥，m，nmn∥；③mn∥，mn∥∥；④∥，mn∥，mn⊥⊥．其中正确命题的序号是（）Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、④Ｄ．②、③【解析】C对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于(A)64(B)104(C)22(D)32【解析】A欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是11AC的中点D.所以1BAD就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为64，故选A.【说明】若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。9.(2007年天津卷第6题)设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）Ａ．若ab，与所成的角相等，则ab∥Ｂ．若ab，∥∥，∥，则ab∥Ｃ．若abab，，∥，则∥Ｄ．若ab，，，则ab【解析】DA中，a、b可能平行、相交、异面；B中，a、b可能平行、相交、异面；C中a、b可以同时与α、β的交线平行；D中a、b可以看作是α、β的法向量.【说明】还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.CBADC1B1A110.(2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）Ａ．5部分Ｂ．6部分Ｃ．7部分Ｄ．8部分【解析】C以点代线，以线代面，可画示意图如下：[来源:学科网ZXXK]【说明】图直观，无须说理.11.(2007年辽宁卷第7题)若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题．．．是（）A．若m，，则mB．若∩=m，∩=n，m∥n，则∥C．若m，m∥，则D．若，，则【解析】CA中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m∥，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′.又∵m，∴m′.由面面垂直的判定定理可知，；D中，平面β与γ也可能相交成或平行.【说明】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.12.(2007年福建卷第8题)已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）[来源:学&科&网]A．mnmn，，∥，∥∥B．mnmn∥，，∥[来源:学科网ZXXK]C．mmnn⊥，⊥∥D．nmnm∥，⊥⊥【解析】D对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误.对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内.【说明】本题主要考查空间中线面位置关系.13.(2007年福建卷第10题)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCD中，12ABAA，，则AC，两点间的球面距离为（）A．B．C．24D．22【解析】B如下图所示，设球的半径为R，则有1211)2(222R，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为外接球的心，在△AOC中，AO=OC=1，AC=2，所以∠AOC=2.所以A、C两点间的球面距离为2.[来源:Zxxk.Com]【说明】本题考查组合体的知识.13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ.取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ=23.这个解法的关键是“猜”图，心算即可.当然，图2中令AQ=x，CP=2x，利用勾股定理得22222222xx求解也简单.[来源:学.科.网Z.X.X.K]图1图2只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.在下关于这题的解法是：【解析】延长MN、CB交于P，连AP.第1，可证M为PN的中点.：作MD∥BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM=12CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点.第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形.以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得23AP，从而边23AN.BCAGHBCAPQABCA1B1C1MNP2222D