ch1复数和复平面讲课

1复变函数与积分变换李畸勇广西大学电气工程学院2一、教学及考核方式主要参考书（略）考试方式：闭卷考试成绩：平时占40%，考试占60%作业：每次课交作业一次答疑：每周一次课堂教学：42学时(练习册)(电气学院303室)3二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射以及解析函数在平面场的应用。其中，带“*”号的内容本课堂不需要掌握。积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。4第一章复数与复平面第一章复数与复平面复数领域的推广和发展。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。(虚数史话)5第一章复数与复平面第一章复数与复平面§1.2复数的几种表示§1.1复数§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面6第一章复数与复变函数§1.1复数§1.1复数一、复数及其运算二、共轭复数7第一章复数与复变函数§1.1复数一、复数及其运算1.复数的基本概念定义(1)设x和y是任意两个实数，yixz(或者)iyxz的数称为复数。(2)x和y分别称为复数z的实部与虚部，并分别表示为：,Rezx.Imzy当y0时，因此，实数可以看作是复数的特殊情形。(3)当x0时，yiyiz0称为纯虚数；xixz0就是实数。将形如.1i其中i称为虚数单位，即8第一章复数与复变函数§1.1复数设与是两个复数，111yixz222yixz如果,21xx,21yy则称与相等。1z2z它们之间只有相等与不相等的关系。一、复数及其运算1.复数的基本概念相等0yixz当且仅当.0yx特别地，复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小，注9第一章复数与复变函数§1.1复数一、复数及其运算2.复数的四则运算设与是两个复数，111yixz222yixz(1)复数的加减法;)(212121yyixxzz加法.)(212121yyixxzz减法(2)复数的乘除法;)()(1221212121yxyxiyyxxzz乘法,21zzz.21zzz如果存在复数z，使得则除法10第一章复数与复变函数§1.1复数一、复数及其运算2.复数的四则运算(3)运算法则交换律;1221zzzz.1221zzzz结合律;)()(321321zzzzzz.)()(321321zzzzzz分配律.)(3121321zzzzzzz11第一章复数与复变函数§1.1复数二、共轭复数1.共轭复数的定义设是一个复数，定义yixz称为z的共轭复数，yixz记作。z共轭复数有许多用途。注比如21zzz)()()()(22222211yixyixyixyix2221zzzz12第一章复数与复变函数§1.1复数二、共轭复数2.共轭复数的性质其中，“”可以是;,,,,2121zzzz(2);ImRe2222][][yxzzzz(3);zz(1)性质13第一章复数与复变函数§1.1复数解(1)iizz435521)43()43()43()55(iiii25535i.5157i.5157i21zz21zz(2)14第一章复数与复变函数§1.1复数证明2121zzzz2121zzzz2121zzzz.)(Re221zz15第一章复数与复平面卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。附：历史知识——虚数史话两数的和是10,积是40,求这两数．卡尔丹发现只要把10分成和即可。1551551545年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》中求解这样的问题：卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。16第一章复数与复平面附：历史知识——虚数史话整个十七世纪，很少有人理睬这种“虚构的量”。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的“复数”的名称。1632年，笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构的量”改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今17第一章复数与复平面附：历史知识——虚数史话到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。,sin1cos)sin1(cosnθnθθθn1722年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：其中n是大于零的整数。,sin1cos1exxx1748年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对n是实数时也成立。.11777年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中首次使用i来表示18第一章复数与复平面附：历史知识——虚数史话十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。1797年，当时年仅20岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。而且n次多项式恰好有n个根。任何多项式在复数域里必有根，即19第一章复数与复平面附：人物介绍——高斯许多数学学科的开创者和奠基人。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。享有数学王子的美誉。德国数学家、(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理学家、天文学家20第一章复数与复平面高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，历时67年，出版了《高斯全集》，共12卷。附：人物介绍——高斯在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是高斯的青铜雕像。18岁(返回)21第一章复数与复平面§1.2复数的几种表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根四、几个关系22第一章复数与复平面一、复数的几何表示1.复平面此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，定义用坐标为的点来),(yx,yixz表示复数从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来，的平面称为复平面或者这样表示复数zz平面。23第一章复数与复平面引进复平面后，复数z与点z以及向量z视为同一个概念。yixz在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数z也构成一一一、复数的几何表示1.复平面y实轴虚轴iyxzxO对应关系(复数零对应零向量)。比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。24第一章复数与复平面将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，一、复数的几何表示2.复数的模与辐角yiyxzxOxyr定义设z的是一个不为0的复数，.||z(1)向量z的长度r称为复数z的模，记为还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。(2)向量z的“方向角”称为复数z的辐角，记为.Argz(?)25第一章复数与复平面一、复数的几何表示2.复数的模与辐角zxy两点说明(1)辐角是多值的，(2)辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针取负号。相互之间可相差,2πk其中k为整数。例如对于复数,1iz则有,2||z,243Argπkπz.,2,1,0k复数0的模为0，辐角无意义。注26第一章复数与复平面由此就有如下关系：一、复数的几何表示2.复数的模与辐角主辐角对于给定的复数设有满足：,0zzArg且,ππ则称为复数z的主辐角，记作.argz,2argArgπkzz.,2,1,0k27第一章复数与复平面)(31arctanargziiiiz)1(212解.3iππ,10)1()3(||22z31arctanπ.πxy3128第一章复数与复平面(1)已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示3.相互转换关系yiyxzxOxy||zzarg;22yx|z|29第一章复数与复平面(1)已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示3.相互转换关系(2)已知模与辐角，求实部与虚部。)cos(arg||zzx)sin(arg||zzy;)Argcos(||zz.)Argsin(||zz由此引出复数的三角表示式。yiyxzxOxy||zzarg30第一章复数与复平面二、复数的三角表示和指数表示1.复数的三角表示称为复数z的三角表示式。)sin(cosirzyiyxzxOxyr如图，有sincosrirz.)sin(cosir定义设复数r是z的模，是z的任意一个辐角，,0z,cosrx,sinry由31第一章复数与复平面二、复数的三角表示和指数表示2.复数的指数表示)sin(cosirz.eir利用欧拉公式得sincoseii称为复数z的指数表示式。irze定义设复数r是z的模，是z的任意一个辐角，,0z但习惯上一般取为主辐角。在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，注补(欧拉公式)32第一章复数与复平面,4412||z解)(122arctanargzxy212π31arctanππ6ππ.65π.)65sin65cos(4πiπz复数的三角表示式为z.465eiπz复数的指数表示式为z33第一章复数与复平面二、复数的三角表示和指数表示3.利用指数表示进行复数的乘除法运算.)(2121eθθirr,1e11irz,2e22irz设乘法21ee2121θiθirrzz21zz21z2zxy1,||||||2121zzzz即.ArgArg)(Arg2121zzzz(在集合意义下?)两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；(集合意义)34第一章复数与复平面二、复数的三角表示和指数表示3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,1e11irz,2e22irz.)(2121eθθirr设除法21ee2121θiθirrzz1z2z221zz1z2zxy1.ArgArgArg2121)(zzzz(在集合意义下)两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；,||||2121zzzz即35第一章复数与复平面iππ)42(e21iπ43e21.2121i.1ii例计算,2eiπii1iπ4e2解由有iiπ42ee2πii1附一些“简单”复数的指数形式,1eiπ,12eiπ,12eiπk,2eiiπ,2eiiπ.1ii1i1i1i1i136第一章复数与复平面iππ)653(e4iπ2e4.4iiππ)653(eiπ67e67sin67cosπiπ.2123ii31,23eiπi3iπ65e2解由有iπiπ653ee22)3()31(iiiiπ653ee22πii33137第一章复数与复平面复数z的乘幂，设z是给定的复数，n为正整数，n个z相乘的积称为定义三、复数的乘幂与方根1.复数的乘幂,eirz.)(eeninninrrz设则法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,nz.个nnzzzz即记为38第一章复数与复平面三、复数的乘幂与方