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第七章《机械能》第四讲《机械能守恒功能关系能量守恒》【计划课时】4课时【学习目标】1.2.3.会对单个物体和系统应用机械能守恒定律求解。4.知道各种功能关系的含义,会用功能关系和能量守恒定律求解实际问题。【教学重难点】1.系统机械能守恒问题.2.功能关系的综合应用.【使用说明与方法指导】1.2.一、机械能守恒定律1机械能守恒守律:只有重力或系统内弹力做功的物体系统内,动能和重力势能、弹性势能间相互转化,但机械能的总量保持不变,这就是机械能守恒定律。其实质是机械能内部的转化或转移。2机械能守恒定律的适用条件:从做功来看,只有重力或系统内弹力做功的物体系统内;从能量角度看,只有系统内的动能和势能间的相互转化,没有其他能量(如内能、化学能、电能等)和系统内机械能之间的转化。具体判断方法:(1)对单个物体,只有重力做功.(只受重力,或受其他力但其他力不做功)(2)对某一系统,物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其它形式的能,则系统的机械能守恒.【例1】下列关于机械能守恒的叙述,正确的是()A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做变速运动的物体机械能可能守恒C.合外力对物体做功为零时,机械能一定守恒D.若只有重力对物体做功,物体的机械能一定守恒【解析】选B、D.机械能守恒的条件是只有重力、弹力做功,而不是合外力为零或合外力做的功为零,故选项A、C错误,选项B、D正确.【练1】如图,小球自a点由静止自由下落,到b点时与弹簧接触,到c点时弹簧被压缩到最短,若不计弹簧质量和空气阻力,在小球由a→b→c的运动过程中()A.小球的机械能守恒B.小球和弹簧总机械能守恒C.小球在b点时动能最大D.小球b→c的运动过程中加速度先减小后增大总结:判断物体的机械能是否守恒应注意:3.机械能守恒定律的三种表达式(1)从守恒的角度:选取某一平面为零势能面,如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零,系统末状态的机械能和初状态的机械能相等,即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(势能包括弹性势能)(2)从能量转化的角度:系统的动能和势能发生相互转化时,系统势能的减少量等于系统动能的增加,即ΔEp=ΔEk(注意:重力势能的相对性和重力势能变化的绝对性)(3)从能量转移的角度:系统中有A、B两个物体,A机械能的减少量等于B机械能的增加量,即ΔEA减=ΔEB增.4、利用机械能守恒定律解题的一般思路:(1)、选取研究对象——单个物体、多个物体组成的系统、系统内有弹簧。(2)、根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒;(3)、确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.(4)、选择合适的表达式列出方程,进行求解.(若选择初末态机械能能相等,则需选择零势能面)(5)、对计算结果进行必要的讨论和说明.(6)、单个物体的机械能守恒可以用动能定理代替。5、机械能守恒定律方程往往只涉及过程的初、末两状态,不必考虑中间过程的细节,这使问题解决变得简单快捷。6、动能定理和机械能守恒定律的比较:前者没有条件,后者有条件;前者通常适用于单个物体,后者适用于系统;动能定理反映的是合外力做功从而物体的动能发生了变化,而机械能守恒反映的是在只有重力或弹力做功的物体系统内,机械能之间发生转化或转移,而总量不变。都是标量式,都只涉及过程的初、末两状态,不必考虑中间过程的细节,但动能定理要考虑中间过程的做功。二、机械能守恒定律的应用1、单个物体的机械能守恒:例2、如图,位于竖直平面内的轨道,由一段倾斜直轨道和圆形轨道分别与水平面相切连接而成,各接触面都是光滑的,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上A点处由静止开始下滑,恰好通过圆形轨道最高点D.物块通过轨道连接处B、C时无机械能损失.求:A点距水平面的高度h.解:物块在D点时由牛顿第二定律:mg=mv2/R①以水平面为零势能面,由机械能守恒定律:mgh=mg·2R+21mv2②得:h=25R③总结:单个物体可优先选择应用动能定理求解。上式②可根据动能定理:mg(h-2R)=21mv2-0,动能定理的优越性在于无条件性。【练2-1】要使一个小球着地后回跳的最大高度超过小球初位置高度5m,必须用多大的初速度将它竖直上抛?(不计空气阻力以及球和地面碰撞时的机械能损失,g=10m/s2)2、系统的机械能守恒:明确研究系统,哪些能量增大了,哪些能量减小了,选择适当的关系式。【例3】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图,重力加速度为g,开始时OA边处于水平位置,现由静止释放,则()A.A球的最大速度为gl2B.A球速度最大时,两小球的总重力势能最小C.A球速度最大时,两直角边与竖直方向的夹角为45°D.A、B两球的最大速度之比为2∶1解析:两小球的总重力势能最小时,二者的动能最大,且转动过程中A球和B球的速度大小之比始终为2∶1,故选项B、D正确。当OA边与竖直方向的夹角为θ时,由机械能守恒定律得2222121)sin1(2cos2BAmvmvlmglmg可得),1cos(sin382glvA由数学知识知,当θ=45°时,2有最大值,)12(38gl故选项A错,C对.答案:BCD【练3】如图,一固定的楔形木块,其斜面的倾角=30,另一边与水平地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细绳跨过定滑轮,两端分别与物体A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m。开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦,若A沿斜面下滑s距离时,细绳突然断了。求物体B上升的最大高度H。(B始终不与定滑轮相碰)【例4】如图所示,一根粗细均匀链条长为L,放在光滑的桌面上,一部分在桌边自然下垂,其长度为a,今将链条由静止释放,当链条刚好全部滑离桌面时,链条下端未落地,则此时链条速度为多大?【分析】物体末状态的示意图,如图所示,初状态整个链条不可看做质点,但可看由两部分组成,即水平部分AB段和竖直部分BC段,这两段均可视为质点,整个过程中只有重力做功,链条的机械能守恒,取桌面为0参考平面.初状态时,动能为零,故机械能为:E1=Ek1+EP1=EP1=-amg/L×a/2未状态时,设速度为v,其势能为Ep2;EP2=-mgL/2;机械能E2=mv2/2-mg·L/2由机械能守恒定律,得Ek1+EP1=Ek2+EP2;即0+(-amg/L×a/2)=mv2/2+(-mgL/2),得:v=LaLg/)(22故链条全部离开桌面时速度为LaLg/)(22解:整个过程中只有重力做功,链条的机械能守恒,取桌面为0参考平面,则:0+(-amg/L×a/2)=mv2/2+(-mgL/2)解得:v=LaLg/)(22故链条全部离开桌面时速度为LaLg/)(22总结:对于不能看作质点的物体总势能等于各部分势能之和,“分段”处理求势能的变化量的总和可给我们解决问题带来方便。【练4】一根全长为L、粗细均匀的铁链,对称地挂在轻小光滑的定滑轮上,如图,当受到轻微扰动,铁链开始滑动,当铁链脱离滑轮瞬间铁链速度大小为多少?已知重力加速度为g3、含有弹簧的系统机械能守恒:弹性势能的表达式EP=221kx中学阶段不要求定量计算,但要注意“定性判定形变量相等时弹性势能相等”的应用,涉及弹性势能的问题一般用间接方法(动能定理或机械能守恒定律)求出。【例5】如图所示,在竖直方向上A、B物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,A放在水平地面上,B、C两物体通过细绳绕过光滑轻质定滑轮相连,C放在固定的光滑斜面上,斜面倾角为30°.用手拿住C,使细绳刚刚拉直但无拉力作用,并保证ab段的细绳竖直、cd段的细绳与斜面平行,已知B的质量为m,C的质量为4m,A的质量远大于m,重力加速度为g,细绳与滑轮之间的摩擦力不计,开始时整个系统处于静止状态,释放C后它沿斜面下滑,斜面足够长,求:(1)当B的速度最大时,弹簧的伸长量;(2)B的最大速度.[解析](1)通过受力分析可知:当B的速度最大时,其加速度为0,细绳上的拉力大小为:F=4mgsin30°=2mg………………①此时弹簧处于伸长状态,弹簧的伸长量为xA,满足:kxA=F-mg,则xA=mgk……………②(2)开始时弹簧压缩的长度为:xB=mgk…………………③因A质量远大于m,所以A一直保持静止状态.B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离均为:h=xA+xB由于xA=xB,弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等,弹簧弹力做功为零,此时B、C的速度相等,设为vBm,由B、C及弹射系统机械能守恒:4mghsin30°=mgh+12(m+4m)v2BmL21由此解得vBm=2gm5k【练5-1】如图,重10N的滑块在倾角为30°的斜面上,从a点由静止下滑,到b点接触到一个轻弹簧.滑块压缩弹簧到c点开始弹回,返回b点离开弹簧,最后又回到a点,已知ab=0.8m,bc=0.4m,重力加速度g=10m/s2,则下列正确的是:()A.滑块动能的最大值是6JB.弹簧弹性势能的最大值是6JC.从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6JD.滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒【练5-2】如图,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?(已知重力加速度为g)4、系统的机械能不守恒时,除重力或弹力以外的力对系统做的功等于系统机械能的改变。对一些绳子突然绷紧,物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明,机械能必定不守恒。【例6】如图所示,长为l不可伸长的细绳一端系于O点,一端系一质量为m的物体,物体自与水平夹角300(绳拉直)由静止释放,求物体到达O点正下方处的动能及绳子所受张力?重力加速度为g错解:由机械能守恒定律:mg1.5l=21mv2,所以最低点动能为1.5mgl分析:小球运动过程是:先由A点自由下落至B.自B点做圆周运动,就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少,下面我们通过运算来说明这个问题.正确解法:vB=gl2,其方向竖直向下,将该速度分解如图所示v2=vBcos300,v1在绳的拉力作用下很快减为零,物体以v2为初速度做圆周运动.由B至C的过程中机械能守恒:222212121cmvmglmv由此得221cmv=mgl45【练6-1】如图,在一光滑的水平面上放着质量都是m的三个物体,其中B、C静止,中间夹着一个质量不计的弹簧,弹簧处于松驰状态,今物体A以水平速度v0撞向B,且与其粘在一起运动,求整个运动过程中,⑴.弹簧具有的最大弹性势能。⑵.物体C的最大速度。【练6-2】如图,长为L的轻绳一端系于固定点O,另一端系一质量为m的小球,将小球从O点正下方L/4处以一定的初速度水平向右抛出,经过一段时间,绳被拉直,以后小球将以O为圆心在竖直平面内摆动,已知绳刚被拉直时,绳与竖直方向成600角,重力加速度为g,求:(1)小球水平抛出时的初速度v0(2)小球摆到最低点时,绳所受的拉力的大小。三、功能关系:1、应用功能关系需注意的问题(1)搞清力对“谁”做功:对“谁”做功就对应“谁”的位移,引起“谁”的能量变化。(2)不同的力做功对应不同形式的能量变化。2、摩擦力做功与产生内能的关系静摩擦力做功的特点:(1)静摩擦力可以做正功、负功,还可以不做功。(2)在静摩擦力做功的过程中,一对相互作用的静摩擦力所做功的代数总和等于零。只有机械能从一个物体转移到另一个物体(摩擦力起着传递机械能的作用),而没有机械能转化为其他形式的能量。滑动摩擦力做功的特点:(1)滑
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