2016届原创§74解不等式总述及一元n次分式不等式的解法

§74解不等式总述及一元n次、分式不等式的解法一、解不等式概述三、解分式不等式二、标根法解一元n次不等式1.题型:3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法:一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质1.左右去分母法2.上下去分母法高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值规律与统计不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：①按课本上的分类方式：……②按资料上的分类方式：单向式；双向式……③按自己的分类方式：……1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果ab，那么ba，如果ba，那么ab000.abababababab；；a＞bb＜aab，bc⇒ac2.运算性质⑴对一个不等式的运算(变形)⑵对多个不等式的运算(变形)⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果ab，那么a+cb+c⑤乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acbc⑥方：ab,c0⇒acbcab⇒a+cb+cab,c0⇒acbc若0,(1)nnababnNn则且0,(1)nnababnNn则且若2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)如果ab，且cd，那么a+cb+d⑨同号可倒：⑧乘：ab，cd⇒a+cb+d如果ab0，且cd0，那么acbdab0，cd0⇒acbd若ab,ab0,则11.ab注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：cba11133abcba112ab则若,c,,Rba2ba222ba(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立33333cba3cba(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤2□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联21xx21xx21xxxkxy或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立13柯西不等式i：一般式ii：向量式||||baba方和积≥积方和1.表述方式众多：2.应用：i：作用：换序变结构ii：用途：解证求最值nbbb,,,21注：最常见的是将配凑为naaa,,,21naaa1,,1,121①②③常数列已知1a≤2a≤3a≤…≤na,1b≤2b≤3b≤…≤nb若123,,,ccc…,nc是123,,,bbb…,nb的任意一个排列,则称1122nnSacacac为乱序和称11211nnnSababab为反序和称21122nnSababab为顺序和,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15分数的性质若,a,b,c,d,m,n＞0,则dcbadcndmbncmaba特例2：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba特例1：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理)nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx211设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式:,有当且仅当时取等号nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx212设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号凸凹性与琴生(Jensen)不等式1617伯努利不等式参《选修4-5》P：51～52xx1)1(xx1)1(ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则)1()1)(1()1(2121nnxxxxxx(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则nxxn1)1(注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则18lnx不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数的衍变1ln11xxx大多数是)1ln(131211nnkkx1(2).令，由迭加法可得(3).令，由迭加法可得1kxk)1ln(1433221nnnn二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……不等式的应用1.解不等式：①常见题型②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.解不等式：③一般的，不等式解集的端点值是方程的根不等式的应用解一元二次不等式的解法1.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空2.其他法：③配方法：①图象(标根)法：②因式分解法：一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用§74解不等式总述及一元n次、分式不等式的解法一、解不等式概述三、解分式不等式二、标根法解一元n次不等式1.题型:3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法:一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质1.左右去分母法2.上下去分母法一、解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……一、解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法(1).《精炼案》P：69Ex1二、标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质(2).解不等式(3+x)(2-x)(x+1)＞021x或3x由标根法得-3-12解：因原不等式等价于(3+x)(x-2)(x+1)0又因方程(3+x)(x-2)(x+1)=0的根为-3，-1，23(1)(3)0xx2例四：（x+2)(x+1)(3).解不等式解：因方程3(1)(3)0xx2例四：（x+2)(x+1)=0的根为-2；-1；3或由标根法得1-2-1312x11x或3x一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质(4)(2007年重庆)已知函数取值范围44()lnfxaxxbxc在x=1处取得极值3-c，其中a,b,c为常数①试确定a,b的值；②讨论函数f(x)的单调区间；2()2fxc③若对任意x0，不等式恒成立，求c的解①：因/3()[4ln(3)]fxaxabx故(1)3fbcc/(1)30fab解得3b9a解②:由①得/3()36lnfxxx当x0时,解得f(x)在(1,＋∞)上↗/()0fx/()0fx当x0时,解得f(x)在(0,1)上↘(4)(2007年重庆)已知函数取值范围44()lnfxaxxbxc312cc或(x0)在x=1处取得极值3-c，其中a,b,c为常数②2()2fxc③若对任意x0，不等式恒成立，求c的解③：由②得故原命题等价于解得min()(1)3fxfc232cc当x0时,解得f(x)在(1,＋∞)上↗/()0fx/()0fx当x0时,解得f(x)在(0,1)上↘10.32xx法1.10,1320;xx或10,2320.xx2(,1)(,).3或(5).解不等式：依题意得故原不等式的解集为32x1x“左右”去分母法解得三、解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1320xx故原不等式的解集为2(,1)(,).3因原不等式等价于法2.“上下”去分母法(6).(2012年江西)不等式的解集是______2902xx解：因原不等式等价于2(9)(2)0xx由标根法得或32x3x故所求解集为(－3，2)∪(3,＋∞)1232xx550.32xx故(55)(32)0,320.xxx解得2|1.3xx(7)解不等式：解：因原不等式等价于320x(8)(2008年北京)已知函数,求导函数并确定f(x)的单调区间22()(1)xbfxx/()fx242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx32[(1)](1)xbx解：因i：当b-1＜1,即b＜2时,ii：当b-1＝1,即b＝2时,解得f(x)在(b-1,1)上↗解/()0fx得f(x)在(－∞,1)，(b-1,＋∞)上↘/()0fx解/()0fx得f(x)在(－∞,b-1)，(1,＋∞)上↘故f(x)在(－∞,1)，(1,＋∞)上↘22()0(1)fxxiii：当b-1＞1,即b＞2时,在x≠1时恒成立解得f(x)在(1,b-1)上↗/()0fx(9).已知函数有三个不同的零点时32()fxxaxba故a的取值范围是33(3)(1)()22，，，,求b的值析：因/2()32fxxax0a3()()044ababa27273(0)()()()0327aaffbaba2432()()=(3)(1)()442ababaaaa27273对比系数可得b=1即由标根法得1.《精炼案》P：65Ex1作业：预习：解连、组、根式及抽象不等式2.讨论函数的单调性43254xfxxx3.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜-3或x＞1},则函数y=f(-x)的图像可以为1-3-131-3-13C.D.A.B.