2013年高考数学总复习7-2基本不等式但因为测试新人教B版

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费2013年高考数学总复习7-2基本不等式但因为测试新人教B版1.(2010·茂名市模拟)“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案]A[解析]∵a＝14，x0时，x＋ax≥2x·ax＝1，等号在x＝12时成立，又a＝4时，x＋ax＝x＋4x≥2x·4x＝4也满足x＋ax≥1，故选A.2．(2011·兰州一模)已知p＝a＋1a－2，q＝(12)x2－2，其中a2，x∈R，则p、q的大小关系为()A．p≥qB．pqC．pqD．p≤q[答案]A[解析]由p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号；而由于x2－2≥－2，故q＝(12)x2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A.3．(文)(2011·宁德月考)已知b0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于()A．1B．2C．22D．23[答案]B[解析]由条件知(b2＋1)－ab2＝0，∴a＝b2＋1b2，∴ab＝b2＋1b＝b＋1b≥2，等号在b＝1，a＝2时成立．(理)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B．ab有最小值14C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值22由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费[答案]C[解析]由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝＋2－2ab2＝12－ab，所以ab≤14，故B错；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，故A错；由基本不等式得a＋b2≤a＋b2＝12，即a＋b≤2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故D错．故选C.4．(文)(2011·湖北八校第一次联考)若0x1，则4x＋91－x的最小值为()A．24B．26C．25D．1[答案]C[解析]依题意得4x＋91－x＝(4x＋91－x)[x＋(1－x)]＝13＋－x＋9x1－x≥13＋2－x·9x1－x＝25，当且仅当－x＝9x1－x，即x＝25时取等号，选C.(理)若a0，b0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.α＋β＝a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab，∵ab≤a＋b2，∴ab≤＋24＝14.当a＝b＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.5．(文)(2011·沈阳模拟)若实数x，y满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有()A．最大值3＋22B．最小值3＋22C．最大值6D．最小值6[答案]B[解析]x2＋2y2＝(x2＋2y2)·(1x2＋1y2)由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费＝3＋x2y2＋2y2x2≥3＋22，等号在x2y2＝2y2x2，即x2＝2y2时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()A.14B.2C.32＋2D.32＋22[答案]C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b≥32＋2，当且仅当ba＝a2b，即a＝2(2－1)，b＝2－2时取等号，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[答案]B[解析]由题意知仓储x件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y＝x8＋800x≥2x8×800x＝20，当且仅当x＝80等号成立．7．已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是________．[答案](1，2][解析]由题设条件知，ab＋c，∴b＋ca1，∵a2＝b2＋c2，∴＋2a2＝b2＋c2＋2bca2≤2＋c2a2＝2，∴b＋ca≤2.8．(文)(2011·温州一检)已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为__．[答案]12[解析]由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为x2＋y＝1，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以a2＋b＝1，a∈[0,2]，又a2＋b≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a2＝b＝12，即P(1，12)时，ab取得最大值12.(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．[答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a0，b0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.9．(文)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是____．[答案]4和12[解析]设两个括号中的正整数分别为x，y，则x0，y0，1x＋9y＝1，x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝16，等号在yx＝9xy，即y＝3x时成立，由1x＋9y＝1y＝3x解得x＝4，y＝12.(理)(2010·山东平度一中一模)设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则1a＋2b的最小值是________．[答案]8[解析]AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，∵AB→与AC→共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a0，b0，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab，即b＝12，a＝14时等号成立．10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a0，b0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费求1a＋4b的最小值．[解析]由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴圆的圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴1a＋4b＝b＋4aab＝1ab，由1＝4a＋b≥24ab＝4ab，得ab≤116，∴1ab≥16，∴1a＋4b的最小值为16.(理)(2010·江苏盐城调研)如上图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？[解析](1)设DQ＝x米(x0)，则AQ＝x＋20，∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，∴AP＝＋x，则S＝12×AP×AQ＝＋2x＝15(x＋400x＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0x≤203或x≥60答：(1)当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米；(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0DQ≤203或DQ≥60.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费11.已知－1a0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝11＋a，比较A、B、C的大小结果为()A．ABCB．BACC．ACBD．BCA[答案]B[解析]不妨设a＝－12，则A＝54，B＝34，C＝2，由此猜想BAC.由－1a0得1＋a0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a20得AB，C－A＝11＋a－(1＋a2)＝－2＋a＋1＋a＝－aa＋122＋341＋a0，得CA，∴BAC.12．(2011·福建文，10)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2)2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x0，y0，若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2[答案]D[解析]∵x0，y0，∴2yx＋8xy≥22yx·8xy＝8，由条件知m2＋2m8，解得－4m2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费A.32B.53C.256D．不存在[答案]A[解析]由已知an0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋2a6q，∴q2－q－2＝0，∵q0，∴q＝2，∵aman＝4a1，∴a21·qm＋n－2＝16a21，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥165＋2nm·4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．14．(2011荆州二检)函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．[答案]8[解析]函数y＝loga(x＋3)－1的图象经过的定点为A(－2，－1)，∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.∴1m＋2n＝(2m＋n)1m＋2n＝4＋nm＋4mn.∵mn0，∴nm0，4mn0，∴nm＋4mn≥2nm·4mn＝4，当且仅当n2＝4m22m＋n＝1，即m＝14n＝12时等号成立．于是，1m＋2n≥4＋4＝8，即1m＋2n的最小值为8.15．(文)(2011·安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米．假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成；固定部分