2012高三数学一轮复习阶段性测试题导数及其应用1

-1-阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(2011·烟台调研)三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是()A．m0B．m1C．m≤0D．m≤1[答案]A[解析]f′(x)＝3mx2－1，由条件知f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴m0Δ＝12m≤0，∴m0，故选A.2．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B.19C.13D.23[答案]B[解析]∵y′＝x2＋1，∴曲线y＝13x3＋x在点(1，43)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝1＋1＝2，∴k＝2，切线方程为y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A.329B．2－ln3C．4＋ln3D．4－ln3[答案]D[解析]如图，平面图形的面积为13y－1ydy＝[12y2－lny]|31＝4－ln3.-2-[点评]本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归结为函数在区间上的定积分，再根据微积分基本定理求解．在把曲边形面积转化为定积分时，可以以x为积分变量、也可以以y为积分变量，如果是以x为积分变量，则被积函数是以x为自变量的函数，如果是以y为积分变量，则被积函数是以y为自变量的函数．本题如果是以x为积分变量，则曲边形ABC的面积是不如以y为积分变量简明．3．(文)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.20104021[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1∴数列1fn的前n项和Sn＝1f1＋1f2＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.(理)(2011·辽宁丹东四校联考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若03f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1B.2C．±3D．2[答案]C[解析]03f(x)dx＝03(ax2＋b)dx-3-＝13ax3＋bx30＝9a＋3b.由03f(x)dx＝3f(x0)得，9a＋3b＝3ax20＋3b，∴x20＝3，∴x0＝±3.4．(文)(2011·山西太原调研)曲线y＝x3－3x2＋1在点(－1，－3)处的切线与坐标轴所围成的封闭图形的面积为()A．2B．3C．4D．5[答案]A[解析]y′|x＝－1＝(3x2－6x)|x＝－1＝9，∴切线方程为y＋3＝9(x＋1)，即9x－y＋6＝0，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝－23，∴所求面积S＝12×6×23＝2，故选A.(理)(2011·宁夏银川一中检测)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy[答案]B[分析]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝01(x－x2)dx.5．(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于()A．－1B．0C．1D．2[答案]A[分析]利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得ad＝bc.[解析]y′＝1x＋2－1，令y′＝0得x＝－1，当－2x－1时，y′0，当x－1时，y′0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A.6．(2011·黄冈市期末)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．－ln22B．－ln2-4-C．ln2D.ln22[答案]C[解析]∵f′(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴a＝1，设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝32，∴ex0＝2，∴x0＝ln2.7．(2011·日照调研)下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为()A.13B．－13C.73D．－13或53[答案]B[解析]f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象为第三个图，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右边，∴a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，∴f(－1)＝－13，故选B.8．(2011·潍坊一中期末)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()[答案]D[解析]A中，当f(x)为二次函数时，f′(x)为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A可以是正确的，同理B、C都可以是正确的，但D中f(x)的单调性为增、减、增，故f′(x)-5-的值应为正负正，因此D一定是错误的．9．(2011·北京学普教育中心)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是．．单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[1，32)C．[1,2)D．[32，2)[答案]B[解析]因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.据题意，k－112k＋1k－1≥0，解得1≤k32，选B.10．(2011·江西吉安质检)已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D．a∈R且a≠0，a≠－1[答案]B[解析]若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.11．(2011·彭州中学月考)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.12．(2011·蚌埠二中质检)定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)1，则b＋2a＋2的-6-取值范围是()A.13，12B.－∞，12∪(3，＋∞)C.12，3D．(－∞，－3)[答案]C[解析]由y＝f′(x)的图象知，x0时，f′(x)0，x0时，f′(x)0，∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∵两正数a，b满足f(2a＋b)1且f(4)＝1，∴2a＋b4，如图，b＋2a＋2表示点A(－2，－2)与线段BC上的点连线的斜率，其中B(2,0)，C(0,4)，∵kAB＝12，kAC＝3，a0，b0，∴12b＋2a＋23.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2011·四川广元诊断)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．[答案]y＝3x＋1[解析]y′＝ex＋xex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.14．(文)(2011·广东省高州长坡中学期末)函数f(x)＝1＋log2x，f(x)的反函数为g(x)，则g′(2)＝________.[答案]2ln2[解析]由y＝1＋log2x得x＝2y－1，∴f(x)的反函数为g(x)＝2x－1，∴g′(x)＝2x－1ln2，∴g′(2)＝2ln2.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.-7-[答案]2[解析]f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2.15．(文)函数y＝13x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．[答案](－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]y′＝x2－2ax＋1，若函数在R上单调，应有y′≥0恒成立，∴4a2－4≤0，∴a2≤1，∴－1≤a≤1，因此所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(理)(2011·安徽巢湖质检)定积分12|3－2x|dx＝________[答案]12[解析]12|3－2x|dx＝221.5(2x－3)dx＝2(x2－3x)|21.5＝2×14＝12.16．(2011·湖南长沙一中期末)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求(1)函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为________．(2)若函数g(x)＝13x3－12x2＋3x－512＋1x－12，则g12011＋g22011＋g32011＋g42011＋…＋g20102011＝________.[答案](1)(1,1)(2)2010[解析](1)f′(x)＝3x2－6x＋3，f″(x)＝6x－6，令6x－6＝0得x＝1，f(1)＝1，∴f(x)的对称中心为(1,1)．(2)令h(x)＝13x3－12x2＋3x－512，k(x)＝1x－12，h′(x)＝x2－x＋3，h″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝12，h12＝13×123－12×122＋3×12－512＝1，∴h(x)的对称中心为12，1，-8-∴h(x)＋h(1－x)＝2，x＝12011，22011，…，20102011.又k(x)的对称中心为12，0，∴k(x)＋k(1－x)＝0，x＝12011，22011，…，20102011.∴g12011＋g22011＋…＋g201020